Реализация кубического сплайна в октаве

Question

Мое смелое утверждение состоит в том, что реализация Octave кубического сплайна, реализованная в interp1(..., "spline"), отличается от алгоритма «естественного кубического сплайна», описанного, например, Wolfram's Mathworld. Я написал свою собственную реализацию последнего и сравнил его с выходом функции interp1(..., "spline"), со следующими результатами:

Я обнаружил, что, когда я пытаюсь такое же сравнение с 4 очками, решения также отличаются друг от друга, и, кроме того, решение Октавы идентично подбору одного кубического многочлена всем четырем точкам (а фактически не образует кусочно сплайн для трех интервалов).

Я также попытался посмотреть под капотом при внедрении Octav's сплайнов и обнаружил, что это слишком тупо, чтобы читать и понимать через 5 минут.

Я знаю, что существует несколько вариантов граничных условий, которые можно выбрать («естественный» и «зажатый») при реализации кубического сплайна. В моей реализации используются «естественные» граничные условия (в которых вторая производная от двух внешних точек равна нулю).

Если Кубический сплайн Octave действительно отличается от стандартного кубического сплайна, то что же это на самом деле?

EDIT:

второго порядка разности двух решений, показанных на графике сравнения выше Построенные здесь:

Во-первых, по всей видимости, будет только два кубических многочленов в случае Октава : тот, который соответствует первым двум интервалам, и соответствует по последним двум интервалам. Во-вторых, они явно не используют «естественные» сплайны, так как вторые производные в экстремумах не стремятся к нулю.

Кроме того, I считает фактом, что разность второго порядка для моей реализации в средней (то есть третьей) точке равна нулю, является просто совпадением и не требуется алгоритмом. Повторение этого теста для другого набора точек подтвердит/опровергнет это.

Answer 1

Различные конечные условия объясняют разницу между вашей реализацией и Octave's. Octave использует не-а-узел состояние (в зависимости от входа)

См help spline

Чтобы объяснить свои наблюдения: третья производная непрерывна на 2-й и (п-1) -й перерыв в связи с а не потому, что вторая производная Octave выглядит так, будто у нее меньше «разрывов», потому что это непрерывная прямая линия над двумя и двумя последними сегментами. Если вы посмотрите на третьей производной, вы можете увидеть эффект более четко - 3-я производная разрывная только на 3-й перерыв (середина)

x = 1:5; 
y = rand(1,5); 
xx = linspace(1,5); 
pp = interp1(x, y, 'spline', 'pp'); 
yy = ppval(pp, xx); 
dyy = ppval(ppder(pp, 3), xx); 
plot(xx, yy, xx, dyy); 

Также структура pp данных выглядит следующим образом

pp = 

    scalar structure containing the fields: 

    form = pp 
    breaks = 

     1 2 3 4 5 

    coefs = 

     0.427823 -1.767499 1.994444 0.240388 
     0.427823 -0.484030 -0.257085 0.895156 
     -0.442232 0.799439 0.058324 0.581864 
     -0.442232 -0.527258 0.330506 0.997395 

    pieces = 4 
    order = 4 
    dim = 1 
    orient = first