Как читать ∀x. (P (x) ⇒∀y.p (y))?

Question

В вопросе, который я задал здесь: p(x)⇒∀x.p(x) is contingent? Кажется, что существует тенденция согласовать p (x) ⇒∀xp (x) то же, что и ∀x. (P (x) ⇒∀yp (y)), тогда как ∀x. (P (x) ⇒∀yp (y)) читается так, как если бы p (x) истинно для примерно x, то это верно для всех x.

Однако я не понимаю, где квантор НЕКОТОРЫХ пришел, так как там нет квантор «∃» в «∀X. (Р (х) ⇒∀yp (у))»

Есть любой закон распределения квантора делает квантификатор изменен в ∀x. (p (x) ⇒∀yp (y))?

Answer 1

там тенденция к согласуют р (х) ⇒∀xp (х) такая же, как ∀X. (Р (х) ⇒∀yp (у))

Нет, это ISN То же самое (правда первого зависит от x, правда второго не делает); второй - универсальное закрытие первого. Связанный учебник считает их одинаковыми, но он далеко не универсален. Я считаю, что более распространенное определение - the one in Wikipedia, по которому первое не является предложением.

Существует ли какой-либо закон распределения квантора, который изменяет квантор в ∀x. (P (x) ⇒∀y.p (y))?

Да; если q не зависит от x, вы можете увидеть эту цепочку эквивалентностей:.

∀x.(p(x)⇒q) ≡ 
∀x.(¬p(x)∨q) ≡ 
(∀x.¬p(x))∨q ≡ 
¬(∃x.p(x))∨q ≡ 
(∃x.p(x))⇒q