Как бы изменилось уравнение, если входная переменная фильтра Калмана является случайной величиной?

Question

Предположим, что у нас есть линейная динамическая система, мы используем уравнение, которое используется в большинстве онлайновых учебников. Например:

x_k = Ax_{k-1} + Bu_{k – 1} + w_{k – 1} 

z_k = Hx_k + v_k 

так, что мы получили это:

x^k = Ax^{k-1} + Bu^{k – 1} 
P_k = AP_{k-1}A^T + Q 

здесь, кажется, что мы предполагаем, что входная переменная u_k не является случайной величиной. Что делать, если u_k является случайной величиной? нам не нужно оценивать u_k. Будет ли оно изменено на P_k = AP_{k-1}A^T + BU_{k-1}B^T + Q? если да, то как насчет других уравнений измерения измерения и уравнений сглаживания Калмана?

Answer 1

Чтобы взять простейший случай, предположим, что u_k является случайной гауссовой переменной, не связанной с w_k. Тогда это больше шума процесса, и он представлен в ковариации шума процесса, Q. В этом случае Q = E[w_k w_k'] + E[u_k u_k'], где E[ ] - оператор ожидания, а апостроф указывает транспонирование.