Оценка доверительных интервалов матрицы перехода Маркова

Question

У меня есть серия n = 400 последовательности различной длины, содержащие буквы ACGTE. Например, вероятность наличия С после является:

и которые могут быть вычислены из набора эмпирических последовательностей, таким образом,

Предполагая:

Затем я получаю транзит на матрице:

Но я заинтересован в расчете доверительных интервалов для Phat, любые мысли о том, как я могу идти об этом?

Answer 1

Вы можете использовать bootstrapping для оценки confidence intervals. MATLAB предоставляет функцию bootci в панели инструментов Статистика. Вот пример:

%# generate a random cell array of 400 sequences of varying length 
%# each containing indices from 1 to 5 corresponding to ACGTE 
sequences = arrayfun(@(~) randi([1 5], [1 randi([500 1000])]), 1:400, ... 
    'UniformOutput',false)'; 

%# compute transition matrix from all sequences 
trans = countFcn(sequences); 

%# number of bootstrap samples to draw 
Nboot = 1000; 

%# estimate 95% confidence interval using bootstrapping 
ci = bootci(Nboot, {@countFcn, sequences}, 'alpha',0.05); 
ci = permute(ci, [2 3 1]); 

Получаем:

>> trans   %# 5x5 transition matrix: P_hat 
trans = 
     0.19747  0.2019  0.19849  0.2049  0.19724 
     0.20068  0.19959  0.19811  0.20233  0.19928 
     0.19841  0.19798  0.2021  0.2012  0.20031 
     0.20077  0.19926  0.20084  0.19988  0.19926 
     0.19895  0.19915  0.19963  0.20139  0.20088 

и два других подобных матриц, содержащих нижние и верхние границы доверительных интервалов:

>> ci(:,:,1)  %# CI lower bound 
>> ci(:,:,2)  %# CI upper bound 

Я использую следующую функцию для вычисления матрицы перехода из набора последовательностей:

function trans = countFcn(seqs) 
    %# accumulate transition matrix from all sequences 
    trans = zeros(5,5); 
    for i=1:numel(seqs) 
     trans = trans + sparse(seqs{i}(1:end-1), seqs{i}(2:end), 1, 5,5); 
    end 

    %# normalize into proper probabilities 
    trans = bsxfun(@rdivide, trans, sum(trans,2)); 
end 

В качестве бонуса, мы можем использовать bootstrp функцию, чтобы получить статистику, вычисленный из каждой начальной загрузки образца, который мы используем, чтобы показать гистограмму для каждого из элементов в матрице перехода:

%# compute multiple transition matrices using bootstrapping 
stat = bootstrp(Nboot, @countFcn, sequences); 

%# display histogram for each entry in the transition matrix 
sub = reshape(1:5*5,5,5); 
figure 
for i=1:size(stat,2) 
    subplot(5,5,sub(i)) 
    hist(stat(:,i)) 
end 

Answer 2

Не уверен, является ли это статистически достоверным, но простой способ получить ориентировочную верхнюю и нижнюю границу:

Отрежьте образец в n равных частях (например, 1: 40,41: 80, ..., 361: 400) и вычислить вероятностную матрицу для каждого из этих подпространств Плес.

Рассматривая распределение вероятностей среди подвыборки, вы должны получить довольно хорошее представление о том, что такое дисперсия.

Недостатком этого метода является то, что, возможно, невозможно вычислить интервал с заданной вероятностью. Преимущество состоит в том, что оно должно дать вам хорошее представление о том, как ведет себя серия, и что оно может захватывать некоторую информацию, которая может быть потеряна другими методами из-за допущений, на которых основаны другие методы (например, самонастраивание).