Ньютона-Рафсона не работает для корня, где производная равна нулю. Это относится к вашей проблеме, как показывает этот график.
В самом деле, любой корень, где производная равна нулю, трудно получить с большой точностью, и что имеет место для любого числового метода корневого ознакомительной. Ваш случай еще хуже, так как первая и вторая производные равны нулю в корне. Это означает, что график функции очень близок к прямой горизонтальной линии в корне. Учитывая это, будет трудно получить лучшую точность, чем треть общего количества значимых цифр. Большинство компьютеров будут давать двойную точность, около 15 цифр, так что более 5 значащих цифр будут сложными. Ваша процедура уже дает это, поэтому не ожидайте намного лучшего от любой цифровой процедуры.
Вы особенно беспокоитесь о том, что точность производной в вашей производной до 1e-6 (параметр в вашем вызове derivative()), и проблемы возникают, когда ваше значение x достигает одинаковой точности по x.
Вы можете использовать некоторый вариант Ньютона-Рафсона, чтобы избежать этой и другой проблемы - помните, что Ньютон-Рафсон не может сходиться в общем случае и имеет множество трудностей. Взгляните на rtsafe в книге Численные рецепты как безопасное использование N-R (Ньютон-Рафсон).
Если вы хотите придерживаться очень близко к N-R, вы можете изменить свой код, чтобы проверить значение производной, прежде чем вычислять следующее значение x. Просто прекратите цикл, когда производная станет равной нулю.
Если вам действительно нужна более высокая точность в случае, подобном вашему, и используйте прямой N-R, вам нужен лучший расчет производной. Вы используете числовое производное, которое, по-видимому, не очень хорошо. Эта числовая производная, вероятно, дает результат второго порядка, используя симметричную разность двух точек вокруг точки оценки, и это здесь недостаточно. Вы можете использовать более сложную производную процедуру, которая использует больше очков и дает результат более высокого порядка.Но в вашем случае функция достаточно проста, что вы можете написать свою собственную функцию, которая дает хорошую производную для вашей исходной функции. Просто используйте базовые правила исчисления до правила продукта. Фактически, любой реальной процедуре Ньютона-Рафсона должна быть задана функция, которая вычисляет производную, и вы обычно должны не использовать, если это необходимо, с использованием аппроксимированной числовой производной. Можно утверждать, что использование числовой производной означает, что вы на самом деле не делаете Newton-Raphson, и вы должны использовать другой метод для поиска корня - книга Числовые рецепты действительно делают это.
Модификация кода для использования определенной производной функции, а также очистки часть вашего стиля, дает
import math
def newtonDigits(function, dfunction, xstart, digits):
xprev=0
ncalls=0
while abs(xstart-xprev) >= 0.5 * 10**(-digits):
ncalls +=1
print(xstart)
x = xstart - function(xstart)/dfunction(xstart)
xprev = xstart
xstart = x
return xstart, ncalls
f = lambda x: 14*x*(math.e)**(x-2) - 12*(math.e)**(x-2) - 7*x**3 + 20*x**2 - 26*x + 12
df = lambda x: 14*x*(math.e)**(x-2) + 2*(math.e)**(x-2) - 21*x**2 + 40*x - 26
root = newtonDigits(f, df, 1.9, 6)
print("Root: {0:.6f}".format(root[0]))
print("Number of loops: N=" + str(root[1]))
который печатает
1.9
1.9347284749567717
1.9570567399626235
1.9716123428786936
1.9811786535860885
1.987497587688875
1.991684850749086
1.9944652840851569
1.9963140403238206
1.9975443983678638
1.9983636880398847
1.998909460162945
1.9992731216554642
1.9995154801019759
1.9996770218573676
1.999784687490283
1.9998564592822783
1.9999043185996854
1.9999363386081155
1.9999575985093117
1.9999719257797395
1.999982068293325
1.9999875928805002
2.00000490230375
Root: 2.000005
Number of loops: N=24
Да, проблемы возникают, когда значение x достигает такой же точности по x. Но я считаю, что это не то же самое x следующего x .. Я хочу больше точности. – tasosxak
Я изменил «1e-6» на «1e-5», а результат - 1.99999953083 – tasosxak
. Чистая производная подпрограмма является изворотливой и может дать странная точность, благодаря сочетанию ошибки аппроксимации, которая сжимается при более низкой допускности и ошибке округления, которая растет с меньшим допуском. Смотрите мое обширное дополнение для лучшего способа улучшить вашу рутину. Однако имейте в виду, что любой корень, где производная равна нулю, трудно получить с большой точностью, и это выполняется для любого метода поиска корней. Моя точка зрения об избежании численного дифференцирования для Ньютона-Рафсона держится. –