Найти проекцию вектора на икосаэдр или на его развернутую поверхность

Question

Рассмотрим сферу с центром по происхождению координат и вписанный икосаэдр, ориентированный так, что две самые отдаленные вершины лежат на оси координат Z, а одна из края, выходящие из любой из этих вершин, лежат в плоскости XZ.

Рассмотрите данный вектор x, происходящий в центре сферы. Направление, заданное этим вектором, пробивает поверхность икосаэдра в определенной точке.

Есть ли элегантный способ найти проколотый фасет (учитывая все грани перечислены), а затем найти точку пронзительности на этом грани? Эта задача необходима для проецирования точки пробивки на плоскую развернутую (иную) поверхность икосаэдра.

Answer 1

Это решение специфично для вашего приложения, где векторы исходят из начала координат, а икосаэдр - в начале координат.

Определите 20 треугольников, используя 12 вершин икосаэдра. Закажите 3 так, чтобы они находились в порядке против часовой стрелки, если смотреть снаружи икосаэдра. Поэтому для каждого треугольника у вас будет список из 3-х вершин. Для каждого треугольника построить матрицу 3х3, где столбцы являются вершинами, треугольник:

 
    [ x1 x2 x3 ] 
T = [ y1 y2 y3 ] 
    [ z1 z2 z3 ] 

Вам нужна инверсия этой матрицы (поиск SO или Google для быстрого 3x3 обратного на языке по вашему выбору) , Теперь для каждого вектора вы хотите умножить его на все 20 матриц. Таким образом, для каждого треугольника вычислений: (?) Отрицательны

В = V * T (обратный)

Если все 3 элементов B являются положительными, это пересеченный треугольник.

Затем нормализуйте B - разделите его по длине, чтобы иметь длину блока. Это сделает B барицентрическими координатами точки пересечения этого треугольника.Кроме того, можно вычислить фактическую точку пересечения I путем умножения Барицентрическое координаты на исходной точке матрицы:

I = B * T

Это также работает для нахождения 2D координаты точки пересечения на разложенном треугольника. Поэтому используйте матрицу 2x3 двумерных координат вместо T.

Последняя оптимизация. Если вы суммируете 3 вершины каждого треугольника, это даст вам нормальный вектор для этого треугольника. Если вы вычислите точечный продукт вашего вектора с каждым из нормалей, треугольник с наибольшим точечным произведением будет пересекаться. Этот факт специфичен для регулярных многогранников с центром в начале координат, причем рассматриваемые лучи исходят из начала координат. Это быстрее, чем умножение всей матрицы, чтобы определить, какой из них попал. Вам все равно нужно сделать 1 матрицу, чтобы найти барицентрические координаты.

Вы также можете найти пересечение лучей треугольника и прочитать о барицентрических координатах, но эти решения будут более обобщенными, чем требует эта конкретная проблема.

Answer 2

Хорошо, это не мое поле, но никто другой не ответил, поэтому я возьму на него удар. вы можете представить икосаэдр как 12 вершин - 10 экваториальных вершин, плюс верх и низ (ничто по своей сути экваториальное о них, это просто способ его классификации для нашей системы координат).

Эти вершины, в свою очередь, могут быть представлены как сегменты - один конец - это начало координат, а другой - вершина. Учитывая это, вы можете получить высоту над экватором. Если вы знаете высоту вектора (опять же, над экватором), вы можете определить, какая из трех частей икосаэдра пересекает вектор - северный, южный или экваториальный.

С вашего вектора вы также можете определить азимут. Если у вас есть соответствующие производные азимуты и высоты от вершинных векторов, это довольно простой расчет - это набор из двух граней (и, следовательно, четырех вершин). Вычисляя угловое разделение между данным вектором, каждый сегмент вершин скажет вам, какая из двух граней, на которой он находится, - с меньшей из двух сумм подшипников, будет тем лицом.

Вот где я застрял ... Я не вижу простого способа определить точку пересечения с лицом. Надеюсь, это будет полезно для первой части, по крайней мере.