Плавающая точка IEEE Std 754: пусть t: = a - b, гарантирует ли стандарт, что == b + t?

Question

Предположим, что t, a, b все двойные (IEEE Std 754) переменные, и оба значения a, b НЕ NaN (но может быть Inf). После t = a - b, у меня обязательно есть a == b + t?

Answer 1

Абсолютно нет. Один очевидный случай - a=DBL_MAX, b=-DBL_MAX. Затем t=INFINITY, поэтому b+t также является INFINITY.

Что может быть более неожиданным, так это случаи, когда это происходит без переполнения. В принципе, все они имеют форму, в которой нет a-b. Например, если a является DBL_EPSILON/4 и b является -1, a-b является 1 (предполагается, что режим округления по умолчанию), а затем a-b+b 0.

Причина я упоминаю этот второй пример в том, что это канонический способ заставить округление до определенной точности в арифметике IEEE. Например, если у вас есть число в диапазоне [0,1] и вы хотите округлить его до 4 бит точности, вы должны добавить, а затем вычесть 0x1p49.

Answer 2

В процессе выполнения первой операции бит мог быть потерян с нижнего конца результата. Итак, один вопрос: будет ли вторая операция точно воспроизвести эти потери? Я не совсем так думал.

Но, конечно, первая операция могла бы переполняться до +/- бесконечности, делая второй сравнивать неравномерно.

(И, конечно же, в общем случае, используя == для значений с плавающей точкой почти всегда является ошибкой.)

Answer 3

Вы не гарантировано ничего при использовании поплавков. Если экспонента отличается для обоих чисел, результат арифметической операции может быть не полностью представлен в поплавке.

Рассмотрим этот код:

float a = 0.003f; 
float b = 10000000.0f; 
float t = a - b; 
float x = b + t; 

Запуск на Visual Studio 2010, вы получаете t==-10000000.0f, и поэтому x==0.

Вы не должны использовать равенство при сравнении поплавков. Вместо этого сравните абсолютное значение разницы между обоими значениями и значением epsilon, достаточно малым для ваших точных потребностей.

Он становится еще более странным, поскольку различные реализации с плавающей точкой могут возвращать разные результаты для одной и той же операции.