MATLAB система зависимых дифференциальных уравнений

Question

дана система дифференциальных уравнений, таких как:

dy/dt = f(t) 
dx/dt = g(t) 

Решение может быть найдено с помощью dsolve, таких как:

dsolve(diff(y) == f(t), diff(x) == g(t), y(0) == 1, x(0) == 1); 

Но что в системе, где все переменные зависят друг от друга:

dy/dt = f(y,z) 
dx/dt = g(x,y) 
dz/dt = h(z,x) 

При приближении к тому же, с начальными условиями, для системы, которая имеет решение, я не могу найти решение.

Я знаю, что система, которую я пробовал, может создавать решения, поскольку я использовал стохастический/детерминированный симулятор - думаю, что, возможно, существует какой-то странный синтаксис.

Я специально ищу решение, где производные все равны нулю, если это помогает.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Вот пример:

PX/dt = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PZ^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PX; 
PY/dt = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PX^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PY; 
PZ/dt = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PY^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PZ; 

с коэффициентами:

eff = 20; 

KM = 40; 

tau_mRNA=2.0; 
tau_prot=10; 

ps_a=0.5; 
ps_0=5.0E-4; 

t_ave = tau_mRNA/log(2); 

k_tl=eff/t_ave; 

a_tr=(ps_a-ps_0)*60; 
a0_tr=ps_0*60; 

kd_mRNA = log(2)/tau_mRNA; 
kd_prot = log(2)/tau_prot; 

beta = tau_mRNA/tau_prot; 
alpha = a_tr*eff*tau_prot/(log(2)*KM); 
alpha0 = a0_tr*eff*tau_prot/(log(2)*KM); 
n=2; 

И начальные условия:

PX0 = 20; 
PY0 = 0; 
PZ0 = 0; 

Это дает ответ:

Это, очевидно, имеет стационарное решение (все производные 0).

В MATLAB я пробовал:

%% 
syms PX(t) PY(t) PZ(t); 

z = dsolve(diff(PX) == (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PZ^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PX, diff(PY) == (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PX^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PY, diff(PZ)==(k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PY^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PZ,PX(0)==20) 

и:

%% 
eq1 = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PZ^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PX; 
eq2 = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PX^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PY; 
eq3 = (k_tl*(a0_tr + ((a_tr*KM^n)/((KM^n) + (PY^n))))/kd_mRNA)-kd_prot*PZ; 

dsolve(diff(PX)==eq1,PX(0)==20,diff(PY)==eq2,PY(0)==0,diff(PZ)==eq3,PZ(0)==0) 

Оба не производят никаких ошибок, но возвращать пустой SYM.

Answer 1

Ваше числовое решение, похоже, имеет колебательный компонент. «Стационарное» состояние может быть предельным циклом нулевой амплитуды, что является нетривиальным решением. Вы определенно не должны ожидать, что такая система будет иметь легкодоступное аналитическое решение. Циклические отношения между вашими тремя переменными также не помогают. Для чего это стоит, Mathematica 10's DSolve также не может найти решение.

Хотя это не поможет вам решить, как вы используете символическую математику, является менее оптимальным. Когда вы используете что-то вроде log(2) в символическом математическом уравнении, 2 следует сначала преобразовать в символическое значение. Например, sym(log(2)) дает приближение 6243314768165359/9007199254740992, тогда как log(sym(2)) возвращает точный log(2). Эта последняя форма гораздо более вероятно приведет к решениям, если они существуют.Вот модифицированная версия кода, которая, к сожалению, до сих пор возвращает «Предупреждение: Явное решение не может быть найдено»:

eff = 20; 

KM = 40; 

tau_mRNA=2; 
tau_prot=10; 

ps_a=1/sym(2); 
ps_0=5/sym(10000); 

ln2 = log(sym(2)); 
t_ave = tau_mRNA/ln2; 

k_tl=eff/t_ave; 

a_tr=(ps_a-ps_0)*60; 
a0_tr=ps_0*60; 

kd_mRNA = ln2/tau_mRNA; 
kd_prot = ln2/tau_prot; 

beta = tau_mRNA/tau_prot; 
alpha = a_tr*eff*tau_prot/(ln2*KM); 
alpha0 = a0_tr*eff*tau_prot/(ln2*KM); 
n=2; 

PX0 = 20; 
PY0 = 0; 
PZ0 = 0; 

syms PX(t) PY(t) PZ(t); 

eq1 = (k_tl*(a0_tr + a_tr*KM^n/(KM^n + PZ^n))/kd_mRNA)-kd_prot*PX; 
eq2 = (k_tl*(a0_tr + a_tr*KM^n/(KM^n + PX^n))/kd_mRNA)-kd_prot*PY; 
eq3 = (k_tl*(a0_tr + a_tr*KM^n/(KM^n + PY^n))/kd_mRNA)-kd_prot*PZ; 

s = dsolve(diff(PX,t)==eq1,diff(PY,t)==eq2,diff(PZ,t)==eq3,PX(0)==20,PY(0)==0,PZ(0)==0)