Упрощение последующего булевского выражения и проверка с помощью карты Карно

Question

У меня возникла проблема, упрощающая эти два булевых выражения алгебраически и доказывая их картой Карно. Как я могу это сделать?

Это мои два выражения:

1) (X * Y) + (X»* Y * Z ') + (Y * Z)

2) (X * Y') + Z + (X '+ Y) + (Y * Z)

Я попытался пройти через него с использованием логических теорем и законов, чтобы уменьшить их, но я всегда придумываю разные ответы. Мои ответы обычно возникают именно так.

1) (Y * Z ') + (X + Y)

2) (Х '+ Y ') + (X * Y' * Z')

Я не знаю, ошибочна ли моя K-карта, но мне нужен кто-то, кто поможет мне понять, как решить эту проблему, и какие шаги или законы мне нужно получить, чтобы я мог справиться с этим. Это практика для экзамена, и я сосать булеву алгебру. Я ценю это.

Answer 1

Давайте начнем с первым выражением:

E = XY + X'YZ' + YZ 

три термина имеет Y, то мы можем ФАКТОР его

E = Y(X + X'Z' + Z) 

Теперь давайте сосредоточимся в выражении в скобках S = X + X'Z' + Z:

S = X + X'Z' + Z 
    = X + (X + Z)' + Z   (De Morgan) 
    = (X + Z) + (X + Z)'  (regrouping) 

так, несмотря на то, что по-прежнему выглядит сложным он имеет вид

S = p + p' 

для p = X + Z, верно? Но p + p' = 1 (или true) независимо от значения p. Таким образом, выражение S является 1 и мы получаем

E = Y(X + X'Z' + Z) = YS = Y1 = Y 

Другими словами, первое выражение сводится к Y.

Обратите внимание, что это не так уж сложно понять, почему S = 1 не переписывая его. Есть три случая: (a) Если X - true, то, безусловно, выражение равно true. (b) Если Z - true, результатом является также true. (c) Если ни один из X и Z не является true, то оба значения: false, а X'Z' - true. Таким образом, в каждом из этих трех случаев по крайней мере одно из условий равно true, следовательно, их сумма.

Рассмотрим теперь второе выражение

F = XY' + Z + (X' + Y) + YZ 

Первое, что нужно отметить, что XY' является противоположностью (X' + Y):

(X' + Y) = (XY')'   (De Morgan) 

Так,

F = XY' + (XY')' + Z + YZ 

Опять же, независимо того факта, что XY' + (XY')' выглядит сложным , это выражение вида p + p'. Но p + p' = 1 (это всегда true) и поэтому

F = 1 + Z + YZ = 1 

независимо от значения Y и Z. Итак, второе выражение - это только 1 (aka true).