Как получить правильный угол между двумя плоскостями?

Question

enter image description here Хорошо документировано, что для нахождения угла пересечения между двумя плоскостями мы используем точечное произведение нормальных векторов, перпендикулярных каждой плоскости, которое затем дает косинус угла. Я попытался запрограммировать это, но понял, что в некоторых случаях расчет приводит к добавлению, а не к самому углу пересечения. Ниже приведены два примера коды ниже, что показывает, что это:

x = linspace(-10,20, 12) 
y1 = (0*x) + 9 
y2 = -x + 19 

figure 
k = plotyy(x,y1, x,y2); 
set(k(2),'YDir','reverse') 

%vectors and normal vectors 
n1 = [0, 1]; 
v1 = [1, 0]; 

n2 = [1, 1]; 
v2 = [1, -1]; 

angle = (acos(dot(v1, v2)/(norm(v1) * norm(v2))) * 180/pi) 

вторая:

x = linspace(-10,10, 12); 
y1 = -(0.5*x) + 1.333; 

plot(x, y1); hold on 

%2nd line 
xd = 5; 
plot(xd, x, 'o') 

%vectors and normal vectors 
n1 = [0.5, 1]; v1 = [1, -0.5]; 
n2 = [-5, 0]; v2 = [0, 5]; 

angle = (acos(dot(v1, v2)/(norm(v1) * norm(v2))) * 180/pi) 

Обратите внимание, что первый пример вычисляет правильный угол (45 град), но 2-й пример вычисляет добавку (116,5651оС). После нескольких попыток взломать это я понял, что если одна нормаль указывает на положительную ориентацию и другие точки в отрицательной ориентации (см. Рис. А). Тогда: угол = 180 - (acos (точка (n1, n2)/(норма (v1) * norm (v2)))) * 180/pi. Однако, если оба n1 и n2 должны указывать в одном направлении (положительном или отрицательном), как на рис. B, то: угол = acos (точка (n1, n2)/(норма (v1) * norm (v2)))) * 180/pi

Я проверил это с несколькими примерами, и я уверен, что соглашение будет работать во всех случаях. Я также очень уверен, что это будет полезно для многих людей. Тем не менее, проблема с прослушиванием для меня заключается в том, как программировать это. Любые советы/помощь/предложения будут очень оценены. Благодаря!

Answer 1

Две плоскости образуют две пары углов (a, Pi-a, a, Pi-a). Конечно, все они правильные. И подход с апроксином дает один из этих углов в диапазоне 0..Pi.

Если у вас есть ориентированных плоскости, определяется нормальными направлениями, вы можете вычислить угол в диапазоне между -Pi..Pi нормальных направлениями с использованием функции:

Angle = atan2(vectorproduct(normal1, normal2), dot(normal1, normal2)) 

Обратите внимание, что знак этого угла зависит от того, нормальных векторов!

Delphi пример для 2D-данных дает

angle -45.00 
angle 116.57 

так же, как я ожидал от бумажного эскиза - метод дает угол, необходимый для поворота v1, чтобы сделать его коллинеарны v2

var 
    an, v1x, v1y, v2x, v2y: Double; 
begin 
    v1x := 1; 
    v1y := 0; 
    v2x := 1; 
    v2y := -1; 
    an := RadToDeg(ArcTan2(v1x * v2y - v2x * v1y, v1x * v2x + v1y * v2y)); 
    Memo1.Lines.Add(Format('angle %5.2f', [an])); 
    v1x := 1; 
    v1y := -0.5; 
    v2x := 0; 
    v2y := 5; 
    an := RadToDeg(ArcTan2(v1x * v2y - v2x * v1y, v1x * v2x + v1y * v2y)); 
    Memo1.Lines.Add(Format('angle %5.2f', [an]));