Преобразование 3d 4x4 матрицы поворота в 2d

Question

Скажем, мы имеем матрицу 4x4 с индексами, как так:

00 01 02 03 
10 11 12 13 
20 21 22 23 
30 31 32 33 

Как можно преобразовать данные поворота (не обращая внимания на ось г, если это помогает), содержащиеся в этой матрице в один двумерный угол поворота (в радианах)?

Фон: У меня есть 3D-анимация .dae, экспортированная из Blender в формат Collada. Анимация технически 2d, все значения оси z равны 0. Я пытаюсь преобразовать матрицы 4x4 в 2d данные перевода, вращения и масштабирования.

Answer 1

Масштаб матрицы S выглядит следующим образом:

sx 0 0 0 
0 sy 0 0 
0 0 sz 0 
0 0 0 1 

Перевод матрица T выглядит следующим образом:

1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0 
tx ty tz 1 

Z-оси вращения матрицы R выглядит следующим образом:

cos(a) sin(a) 0 0 
-sin(a) cos(a) 0 0 
    0  0  1 0 
    0  0  0 1 

Если у вас есть матрица преобразования M, это результат ряда умножений R, T и S матриц. Рассматривая M, порядок и количество этих умножений неизвестны. Однако, если предположить, что M=S*R*T мы можем разложить его на отдельные матрицы. Во-первых, давайте вычислим S*R*T:

 (sx*cos(a) sx*sin(a) 0 0)  (m11 m12 m13 m14) 
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0 0) = M = (m21 m22 m23 m24) 
     ( 0   0  sz 0)  (m31 m32 m33 m34) 
     ( tx  ty tz 1)  (m41 m42 m43 m44) 

Поскольку мы знаем, что это 2D преобразование, получить перевод прост:

translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42) 

Чтобы вычислить поворот и масштаб, мы можем использовать sin(a)^2+cos(a)^2=1:

(m11/sx)^2 + (m12/sx)^2 = 1 
(m21/sy)^2 + (m22/sy)^2 = 1 

m11^2 + m12^2 = sx^2 
m21^2 + m22^2 = sy^2 

sx = sqrt(m11^2 + m12^2) 
sy = sqrt(m21^2 + m22^2) 

scale = vector2D(sx, sy) 

rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12) 

Answer 2

this library имеет подпрограммы для преобразования матрицы 4x4 в ее 5 компонентов - вращение, трансляцию, масштаб, сдвиг и перспективу. Вы должны уметь принимать формулы и просто отбрасывать третий компонент трехмерных векторов.