Как определить оператор деления в Агда?

Question

Я хочу разделить два натуральных числа. Я сделал такую ​​функцию

_/_ : N -> N -> frac 
m/one = m/one 
(suc m)/n = ??  I dont know what to write here. 

Пожалуйста, помогите.

Answer 1

Подразделение обычно определяется как итерационная подстановка, которая требует немного необычного принципа индукции. См. the definition in the standard library.

Answer 2

Как @gallais говорит, что вы можете использовать обоснованную рекурсию явно, но мне не нравится этот подход, потому что он совершенно не читается.

Этот тип данных

record Is {α} {A : Set α} (x : A) : Set α where 
    ¡ = x 
open Is 

! : ∀ {α} {A : Set α} -> (x : A) -> Is x 
! _ = _ 

позволяет поднять значения на уровне типа, например, вы можете определить типобезопасный pred функцию:

pred⁺ : ∀ {n} -> Is (suc n) -> ℕ 
pred⁺ = pred ∘ ¡ 

Тогда

test-1 : pred⁺ (! 1) ≡ 0 
test-1 = refl 

typechecks , а

fail : pred⁺ (! 0) ≡ 0 
fail = refl 

нет. Можно определить вычитание с положительной вычитаемого (для обеспечения благополучия foundness) таким же образом:

_-⁺_ : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> ℕ 
n -⁺ im = n ∸ ¡ im 

Затем, используя вещи, которые я описал here, вы можете повторно вычитать одно число от другого, пока разница не меньше, чем второй номер:

lem : ∀ {n m} {im : Is (suc m)} -> m < n -> n -⁺ im <′ n 
lem {suc n} {m} (s≤s _) = s≤′s (≤⇒≤′ (n∸m≤n m n)) 

iter-sub : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> List ℕ 
iter-sub n im = calls (λ n -> n -⁺ im) <-well-founded lem (_≤?_ (¡ im)) n 

Например

test-1 : iter-sub 10 (! 3) ≡ 10 ∷ 7 ∷ 4 ∷ [] 
test-1 = refl 

test-2 : iter-sub 16 (! 4) ≡ 16 ∷ 12 ∷ 8 ∷ 4 ∷ [] 
test-2 = refl 

div⁺ затем просто

_div⁺_ : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> ℕ 
n div⁺ im = length (iter-sub n im) 

И вариант, подобный тому, в Data.Nat.DivMod модуля (только без Mod части):

_div_ : ℕ -> (m : ℕ) {_ : False (m ≟ 0)} -> ℕ 
n div 0  = λ{()} 
n div (suc m) = n div⁺ (! (suc m)) 

Некоторые тесты:

test-3 : map (λ n -> n div 3) 
      (0 ∷ 1 ∷ 2 ∷ 3 ∷ 4 ∷ 5 ∷ 6 ∷ 7 ∷ 8 ∷ 9 ∷ []) 
     ≡ (0 ∷ 0 ∷ 0 ∷ 1 ∷ 1 ∷ 1 ∷ 2 ∷ 2 ∷ 2 ∷ 3 ∷ []) 
test-3 = refl 

Заметим, однако, что версия в стандартная библиотека также содержит доказательство устойчивости:

property : dividend ≡ toℕ remainder + quotient * divisor 

Всего code.