оператор приближенного тестирования равенства в системе Mathematica

Question

Я часто нужно проверить, если expr1==expr2, где проверка символического равенства трудно, но цифровая проверка достаточно

Для рассмотрения таких дел было бы опрятно, чтобы иметь TildeTilde работу, как Equal но вместо проверки символического равенства он заменил бы неизвестные числовыми значениями и проверил бы числовое равенство в нескольких точках.

Неизвестные вещи, которые являются «похожими» на переменные в выражении. Я могу думать о форме x, x[1,2] и Subscript[x,2,3]. Любые подсказки приветствуются!

редактировать

обычно я делаю что-то вроде ниже, но это требует определения переменных, иногда требует изменения Чоп толерантности, и «10 образцов» кажется произвольным. Идеальным тестером будет функция, которая работает как Equals и гарантирует содержательные ответы False. (В дополнение к Equals, которая имеет значимые True ответы)

 
approxEqual[expr1_, expr2_, vars_] := 
    Chop[(expr1 - expr2 /. Thread[vars -> #]) & /@ 
    RandomReal[{-1, 1}, {10, Length[vars]}]] == Table[0, {10}]; 
expr1 = 1/Sqrt[2] Log[Cosh[q + x/Sqrt[2]] Sech[q - x/Sqrt[2]]]; 
expr2 = Sqrt[2] ArcTanh[Tanh[q] Tanh[x/Sqrt[2]]]; 
approxEqual[expr1, expr2, {q, x}] 

В качестве побочного сведению, по-видимому, Maple использует this алгоритм такого равенства тестирования

Answer 1

Это несколько просто, если вы используете FindMaximum в качестве плацдарма :

In[64]:= FindMaximum[expr1 - expr2, q, x] 

During evaluation of In[64]:= FindMaximum::fmgz: Encountered a gradient that 
is effectively zero. The result returned may not be a maximum; it may be a 
minimum or a saddle point. >> 

Out[64]= {1.11022*10^-16, {q -> 1., x -> 1.}} 

Таким образом:

approxEqual[lhs_, rhs_, tol_: 10^-10] := 
Module[{vars}, 
    vars = DeleteDuplicates[ 
    Cases[{lhs,rhs}, s_Symbol /; Not[ValueQ[s]], Infinity] 
    ]; 
    Chop[ 
    First[ 
    Quiet[FindMaximum[Abs[lhs - rhs], Evaluate[Sequence @@ vars]]] 
    ], 
    tol] == 0 
    ] 

In[65]:= approxEqual[expr1, expr2] 
Out[65]= True 

In[66]:= approxEqual[expr1, expr2, 10^-20] 
Out[66]= False 

Очевидно, что в целом это подвержено различным числовым ошибкам, которые вы можете задать с помощью AccuracyGoal/PrecisionGoal/WorkingPrecision/и т. Д. Опций до FindMaximum. Вы также можете повторить FindMaximum для нескольких стартовых точек для переменных.

В качестве примечания обратите внимание, что TildeTilde, (т.е. ~~), является оператором инфикса для StringExpression.

HTH!

Answer 2

Я действительно думаю, что стоит указать шаблоны и диапазоны для символов, которые вы хотите заменить. Следующий код - это полированная версия генератора тестов равенства, который я использовал некоторое время.
Примите это, чтобы numEqual=MakeEqualityTest[...] сформировал тест равенства, который затем можно применить, например. lhs ~numEqual~rhs или что вы предпочитаете. Ваш вопрос был приятным шансом отполировать некоторый код, который у меня был, и, в конце концов, он стал слишком большим, чтобы поместиться здесь, поэтому я поместил его в github (ссылка прямо на доступный код).

Основные характеристики:

• Используй Майкл глубины первый Cases трюка для разумного авто-шаблона
• Использование Norm[#1-#2]& в качестве теста расстояния для обработки векторов, матриц и т.д.
• числа точек отбора проб зависит от числа независимых переменных.
• Гибкая система для указания распределений (например, вы можете заменить символы комплексными числами или матрицами).

Пример использования:

numeq=MakeEqualityTester[]; 
(Cos[x]^2+Sin[x]^2)~numeq~1 
Sqrt[x^2]~numeq~x 

Out[5]= True 
During evaluation of In[4]:= EqualityTest::notEqual: The expressions Sqrt[x^2] and x were not equal at the following point: 
Out[6]= {x->-0.352399} 

Вы также можете позвонить напрямую, через функцию полезности:

EqualityTest[1,Cos[x]^2+Sin[x]^2] 
Out[7]= True 

А вот пример специальных символов и распределений:

poseq=MakeEqualityTester[{ 
    Subscript[y,_]:>RandomReal[{10,11}], 
    Automatic 
    },Tolerance-> 10^(-5)]; 
x ~poseq~ Sqrt[x^2] 
Subscript[y,1] ~poseq~ Sqrt[Subscript[y,1]^2] 

During evaluation of In[18]:= EqualityTest::notEqual: The expressions x and Sqrt[x^2] were not equal at the following point: 
Out[19]= {x->-0.272029} 
Out[20]= True