Реализация с плавающей запятой IEEE, точность и накопление приближений

Question

Если я правильно понимаю плавающие точки IEEE, они не могут точно представить некоторые значения. Они точны в очень ограниченных случаях, и почти каждая операция с плавающей запятой увеличивает накопленные аппроксимации. Кроме того, еще один недостаток - «минимальный шаг» растет с показателем.

Не лучше ли предложить более конкретное представление?

Например, используйте 20 бит для «десятичной» части, но не для всех значений 2^20, а всего лишь 1000000, что дает полное 1/миллионное наименьшее возможное представление/разрешение и использует остальные 44 бита для целая часть, дающая довольно широкий диапазон. Таким образом, число «с плавающей запятой» может быть рассчитано с использованием целочисленной арифметики, которая может даже закончиться быстрее. А в случае умножения, сложения и вычитания нет накопления аппроксимаций, единственная возможная потеря - во время деления.

Эта концепция основана на том, что значения 2^n не являются оптимальными для представления десятичных чисел, например. 1 не делит это на 1024 части, но он довольно хорошо делит на 1000. Технически это не позволяет использовать полную точность, но я могу придумать множество случаев, когда LESS может быть БОЛЕЕ.

Естественно, что такой подход потеряет как диапазон, так и точность, но во всех случаях, когда конечности не требуются, такое представление кажется хорошей идеей.

Answer 1

То, что вы описали как предложение, является фиксированной точкой арифметикой. Теперь не обязательно около лучше или хуже; каждое представление имеет преимущества и недостатки, которые часто делают более подходящим, чем другие, для определенной цели. Например:

• Фиксированная точка арифметика не вносит rouding ошибок для операций, таких как сложение и вычитание, что делает его пригодным для финансовых расчетов. Вы, конечно, не хотите хранить деньги как значения с плавающей запятой.

• Спекуляция: возможно, арифметика с фиксированной точкой проще с точки зрения реализации, что, вероятно, ведет к меньшим, более эффективным схемам.

• с плавающей точкой представление охватывает чрезвычайно широкий диапазон: он может быть использован для хранения очень больших чисел (~ 10 для 32-битной плавающей точкой, 10 для 64-битной) и очень малых положительных (~ 10 ^-320) за счет точности, тогда как представление с фиксированной запятой линейно ограничено его размером.

• Точность с плавающей точкой равномерно распределена по представленному диапазону. Вместо этого большинство значений (в терминах числа представимых чисел) лежит в единичном шаре вокруг 0. Это делает его очень точным в диапазоне, в котором мы работаем чаще всего.

Вы сказали сами:

Технически это преминув использовать в полной точности, но я могу думать о большом количестве случаев, когда МЕНЬШЕ может быть более

Точно, в этом весь смысл. Теперь, в зависимости от проблемы, нужно сделать выбор. Нет единого универсального представления, это всегда компромисс.