Эквивалентность функциональная зависимость установлена ​​

Question

ФР1 = {AB -> C, D -> Е, Е -> C}

Fd2 = {АВ -> С, D -> Е, АВ - -> E, E -> C}

эти два FD эквивалентны или нет, я думаю, что они есть. Но в ответе это показано как не эквивалентное.

Answer 1

Вы не можете произвести AB → E из зависимостей в первом наборе.

Чтобы математически доказать свою эквивалентность (эквивалент), вы должны построить замыкания для обоих наборов и сравнить замыкания.

Существует несколько простых правил индукции для построения замыкания. Цитирование Wikipedia on Functional Dependency, аксиомы:

• Рефлексивность: Если Y представляет собой подмножество X, то X → Y
• усиливающая: Если X → Y, то XZ → YZ
• транзитивность: Если X → Y и Y → Z, то X → Z

с несколькими правилами, которые следуют из них:

• Союз: Если X → Y и X → Z, то Х → YZ
• Разложение: Если X → YZ, то X → Y и X → Z
• Pseudotransitivity: Если X → Y и Z → WY, то WX → Z
• Состав: Если X → Y и Z → W, то XZ → YW

Используя эти правила и аксиомы, можно построить закрытие для FDS.

Опуская тривиальные зависимости (те, где правая сторона входит в левую сторону), первый набор {АВ → С (1), D → E (2), Е → С (3)} дает:

AB → C      (1) 
ABD → CE, ABD → C, ABD → E (composition 1+2, decomposition) 
ABDE → CE, ABDE → C   (composition 1+2+3, decomposition) 
ABE → C      (composition 1+3) 
D → E, D → C, D → CE   (2, transitivity 2+3, union) 
DE → CE, DE → C    (composition 2+3, decomposition) 
E → C      (3) 

и второй набор {АВ → C (1), D → E (2), Е → с (3), AB → E (4)} дает:

AB → C, AB → E, AB → CE  (1, 4, union 1+4) 
ABD → CE, ABD → C, ABD → E (composition 1+2, decomposition) 
ABDE → CE, ABDE → C   (composition 1+2+3, decomposition) 
ABE → C      (composition 1+3) 
D → E, D → C, D → CE   (2, transitivity 2+3, union) 
DE → CE, DE → C    (composition 2+3, decomposition) 
E → C      (3) 

Вторая крышка имеет AB → E, AB → CE, которой нет в первом закрытии, поэтому оригинальные наборы различны.