3 * x + x всегда точны?

Question

Предполагая, что строгий IEEE 754 (без избыточной точности) и округлый до ближайшего ровного режима, равен 3*x+x всегда == 4*x (и, следовательно, точно в отсутствие переполнения) и почему?

Я не смог выставить встречный пример, поэтому я подробно остановился на всех возможных концах битового паттерна abc и закругления, но я чувствую, что мог пропустить случай, а также пропустил более простую демонстрацию. ..

У меня также есть интуиция, что это может быть расширено до (2^n-1) x + x == 2^n x, и тестирование каждой комбинации конечных бит в этом случае не является вариантом.

Мы должны иметь (2^n - 1) x == 2^n x - x по свойству IEEE 754 до тех пор, как п < = 54, но y-x+x == y как правило, не так ...

Answer 1

В следующем, математике показано на code format вычисляется с IEEE 754 в округло до ближайшего режима, а математика не в формате кода является точной.

Позвольте p быть числом бит в значении.

Пусть е быть множитель 2 ^н -1 для положительного целого числа п и точно представима (п ≤ р).

U (x) ULP x. Для нормальных значений U (x) ≤ 2 ^{1- p}x.

t be f*x. Если f*x является субнормальным, то это точно fx. Если это нормально, то t = fx + e для некоторых | e | ≤ ½ U (FX) ≤ 2 ^{- р}х. Заметим, что если | e | составляет ровно половину ULP, тогда он должен равняться младшему биту x, который установлен (поскольку в противном случае e имел бы более одного бита и не мог быть половиной ULP).

Подставляя е, т = (2 ^п -1) х + е.

т + х = (2 ^п -1) х + е + х = 2 ^пх + е.

Рассмотрите t+x. По требованиям IEEE-754 с круглыми к ближайшему, то это должно быть в пределах ½ ULP из т + х, которую мы знаем, чтобы быть 2 ^пх + е. Ясно 2 ⁿx является представительным (запрет переполнения) и | e | ≤ ½ U (FX) ≤ ½ U (2 ^пх). Поэтому t+x должно быть 2 ⁿx за исключением случаев, когда | e | ровно пол УЛП и низкий бит х «ы мантиссы нечетно (так как даже младший бит выигрывает связь и дает 2 ^пх).

Если п является 1, то е является 1, а е 0. Если 2 ≤ п, то | e | ≤ 1/4 U (2 ^пх) < ½ U (2 ^пх). Итак, случай, когда | e | составляет половину ULP, а x бит с низким разрядом не происходит.

Поэтому t+x должно быть 2 ^пх. (Переполнение и NaN оставлены как упражнение для читателя.)

Кроме того, я полностью тестировал 32-битную двоичную с плавающей точкой IEEE-754.