Разделение единицы измерения

Question

Я хотел бы сделать таблицу поиска для векторов единиц. Каждый единичный вектор будет отображаться в ячейке в этой таблице, и бит будет содержать некоторую информацию для небольшого набора векторов со схожими направлениями.

Я мог бы легко представить вектор, используя ($ \ theta $, $ \ phi $, 1), а затем нарезать диапазоны углов в бункеры для создания таблицы 2D-поиска (так что первый бит является тета в диапазоне 0 до $ 2 * \ pi/N $, где N - количество ящиков, которые я хочу для направления theta). Проблема в том, что я думаю, что некоторые бункеры собираются представлять большие области на поверхности единичной сферы, чем другие, и я хотел бы получить области примерно того же размера.

Я ошибаюсь, думая, что равномерное разделение углового диапазона сделает некоторые бункеры большими, чем другие? Если нет, знает ли кто-нибудь лучший способ сделать эту таблицу поиска?

Я нашел несколько документов и презентаций, таких как this one, но я не собираюсь врать, я не понимаю (я слышал о мерах Лебега, но я буду проклят, если узнаю, что это значит) , и в любом случае это не выглядит особенно перспективным.

Answer 1

Если вы разделите долготу на N равных по размеру сегментов, то для получения доменов с равными долями на единице сфера вам придется иметь «неровные» сегменты по широте. area of the spherical segment между двумя линиями постоянной широты (параллели) зависит только от «высоты», т. Е. От длины проекции сегмента к вертикальной оси. Это означает, что если вы разделите вертикальную ось на равные части длины, вы разделите сферу на равные области.

Суть: следующие N*M домены имеют равные области:

• 2*k*pi/N < longitute < 2*(k+1)pi/N, k=0...N-1
• -1 + 2*j/M < sin(latitude) < -1 + 2*(j+1)/M, j=0...M-1