Геометрическое моделирование броуновского движения в R

Question

Я использовал два разных метода для моделирования GBM. один с SDE и один с аналитическим решением для f (t). Но я получаю разные результаты. Я уже установил свое случайное семя. Я не могу понять, в чем разница. Большое спасибо!

set.seed(12345) 
f0 <-102 
mu <-(0.05) 
sigma <-0.08 
T <-0.5 
t <- seq(1/365,T,by=1/365) 
n <-length(t) 
#method 1 
f<-numeric(n) 
f<-sapply(t,function(t) f0*exp((mu-0.5*sigma^2)*t+sigma*rnorm(1,mean=0,sd=sqrt(t)))) 
diff <- f- f0 
plot(t,f,type="l") 

#method 2 
dt <- 1/365 
f2<-numeric(n) 
f2[1]<- f0 
delta<-0 
for (i in 2:n) { 
    delta = mu*f2[i-1]*dt+sigma*f2[i-1]*rnorm(1,mean=0,sd=sqrt(dt)) 
    f2[i]=f2[i-1]+delta 
} 
plot(t,f2,type="l") 

enter image description here

Answer 1

Причина отличаются в том, что первый метод является просто неправильно. В основном процесс, который вы имитируете, не является непрерывным процессом, так как на каждом временном шаге вы генерируете новую случайную переменную, в то время как вы должны генерировать только приращение и сумму в старое значение.

Эта модификация первого метода будет решить эту проблему:

#method 1 
f<-numeric(n) 
f<-f0*exp(cumsum((mu-sigma*sigma/2)*T/n + sigma*sqrt(T/n)*rnorm(n))) 
diff <- f- f0 
plot(t,f,type="l")