Для этого нет явного свойства, поскольку база данных - это независимый от технологии баз данных класс, а понятие «имя базы данных» является специфичным для db. Черт, такие вещи, как Sqlite или SqlCE, даже не имеют «имен базы данных», просто имена файлов.
Вы можете использовать «_db.ConnectionString», чтобы вернуть строку соединения, а затем проанализировать ее, если вы знаете тип базы данных. Каждый поставщик ADO.NET включает в себя класс построителя строки соединений для этого синтаксического анализа для вас.
Например, если у вас есть строка подключения MS Sql, вы можете получить имя базы данных таким образом:
var connectionStringBuilder = new SqlConnectionStringBuilder(_db.ConnectionString);
string databaseName = connectionStringBuilder.InitialCatalog;
Различные поставщики баз данных будут, конечно, использовать различные свойства и терминологию, чтобы дать вам эту информацию.