Научная математика с функциональными языками?

Question

Существуют ли какие-либо серьезные научные математические библиотеки с функциональными языками программирования? Из самой природы функциональных языков можно было бы подумать, что они особенно подходят для математики, но все же известные алгоритмы кажутся процедурными.

Например, классическая серия Numerical Recipes написана в значительной степени процедурно. LAPACK почти де-факто стандарт во многих областях, но он находится в Фортране и, следовательно, процедурный или, возможно, OO, но определенно не работает.

Кто-нибудь смог перенести эти известные процедурные алгоритмы в функциональный стиль?

Update: это, кажется, так что функциональные языки используются в символических расчетов, например в Математике. Но есть ли что-то по своей сути несовместимое с численными расчетами и функциональными алгоритмами? Или это просто так, потому что, поскольку императивные алгоритмы были изобретены в первую очередь, никто не удосужился придумать функциональные эквиваленты?

Answer 1

В HackageDBB есть библиотека Haskell для работы с числами: hmatrix. Он опирается на LAPACK, BLAS и GSL (Научная библиотека GNU).

Но вы должны иметь в виду, что императивные алгоритмы могут быть легко перенесены в чисто функциональные языки с использованием монадов (в частности, трансформаторов состояния). Фактически любая эффективная реализация на месте должна, как правило, использовать такой механизм для предоставления изменяемых переменных в чисто функциональных языках.

Что касается функционального стиля, то во многих случаях это невозможно. Для многих проблем нет известных (эффективных) функциональных подходов. Конечно, вы можете получить такие алгоритмы для работы в Haskell, например, но они не будут сильно отличаться, чем если бы они были написаны в Matlab, Fortran или C.

EDIT:

Это одновременно очевидно несовместимость, а также вопрос, который пришел первым:

1. эффективные численные алгоритмы, как правило, требуют изменяемые данные. Хотя это возможно в чисто функциональной обстановке, это не так просто, как в императивных языках. Но две вычислительные модели совершенно эквивалентны.
2. Основная машина (например, набор инструкций) всегда была и остается обязательной, за очень небольшим исключением (!). Императивно кодированные алгоритмы легче анализировать и оптимизировать, учитывая то, как моделируется реальная машина.
3. Хотя базовая математика позволяет относительно легко выводить функциональные решения, вы не получите эффективный алгоритм (как в случае получения императивных решений непосредственно из математики). Поскольку большинство усилий было и остается направлено на императивные решения, функциональные аналоги просто неизвестны. По функциональным аналогам я имею в виду код, который правильно выражает функциональные намерения и стиль.
4. Существует довольно много императивного кода, который можно использовать повторно. Большая часть его может быть транскрибирована на функциональный язык с использованием государственных трансформаторов, хотя это все равно будет по-настоящему обязательным.

Я на самом деле думаю, что чище-функциональный язык, как Haskell может быть полезен для кодирования алгоритмов: один может объединить математическое описание, сам алгоритм и какое-то доказательство типа-ориентированный (т.е. используя изоморфизм Карри-Говарда) в том же куске кода.

Answer 2

Я считаю, что математика использует свой собственный функциональный язык.

Answer 3

Некоторые системы компьютерной алгебры (например, Maxima) используют языки на основе LISP для представления символических вычислений/синтаксических деревьев.

Примеры математических, функциональных языков:

http://en.wikipedia.org/wiki/J_(programming_language)

http://en.wikipedia.org/wiki/K_(programming_language)

Во всяком случае, существует несколько математических задач и алгоритмы, которые не могут быть сформулированы хорошо или эффективно в функциональном стиле. Эффективная реализация всегда будет обязательной. Пример: сито из Eratosthenes

Answer 4

Определите «серьезный». Помните, что функциональные языки (кроме LISP) довольно новы - оригинальные документы Backes были только в конце 70-х годов, а функциональные языки разработки были совершенно новыми. Известные и общепринятые числовые пакеты основаны на алгоритмах и кодах, начиная с конца 60-х и начале 70-х годов - BLAS был впервые опубликован в 1979 году. Поскольку для использования в производстве люди склонны тяготеть к хорошо известным и доверенным пакетам , есть большой диск для старых кодов FORTRAN.

Но, конечно, люди выполняют цифровую обработку с использованием функциональных языков. Как указывалось в другом ответе, Mathematica становится все более функциональным численным языком и все чаще реализуется сам по себе.

Answer 5

В духе прекрасного Структура и толкование компьютерных программ, есть также Structure and Interpretation of Classical Mechanics. В этой книге используется схема, позволяющая прояснить многие свободные математические обозначения, используемые в вариационном подходе к механике.

Краеугольным камнем книги является scmutils package, который включает в себя функциональный подход ко многим вычислительным задачам, таким как интеграция и минимизация.

Answer 6

Я бы использовал LAPACK как черный ящик с функциональным языком, вместо того, чтобы переписывать его. В течение десятилетий LAPACK была проверена, доработана, оптимизирована и т. Д. Некоторыми чрезвычайно умными людьми. Я бы не стал его трогать.

Answer 7

Отличный вопрос!

Я уже несколько лет являюсь одним из немногих первопроходцев этого поля, и мы только недавно достигли точки, где можно получить производительность в формате Fortran и кратность Python в одно и то же время для широкого диапазона проблем. Изучив все доступные функциональные языки и их реализации очень подробно, я решил сосредоточить свои усилия на статически типизированных нечистых функциональных языках: открытый исходный код OCaml programming language и Microsoft's F# programming language для .NET.

Моя книга OCaml for Scientists охватывает научные вычисления с использованием OCaml programming language Linux или Mac OS X. Моя книга F# for Scientists охватывает научные вычисления с использованием Microsoft's F# programming language Windows, и Visual Studio.Моя компания также продает библиотеки F# for Numerics и F# for Visualization, которые полностью написаны в F # и широко используют функциональное программирование как внутри, так и для улучшения краткости, ясности и ремонтопригодности, а также для облегчения использования библиотеки. Например, первоклассные функции позволяют легко строить графики, например. ploting функции синуса:

Plot([Function sin], (-5., 5.)) 

F # для визуализации будет даже пытаться визуализировать любое значение любого типа так you can give it a matrix of arbitrary-precision rationals and it will display the result as typeset mathematics.

У нас был большой успех для написания кода для научных вычислений в функциональном стиле на языках OCaml и F #. В частности, F # упрощает создание высокопроизводительного параллельного кода, который является общим без каких-либо ограничений производительности для абстракции. Таким образом, вы можете реализовать QR-декомпозицию, которая работает для матриц любого типа (одинарная точность, двойная точность, сложная или даже символическая!) И даже beat the performance of vendor-tuned libraries like the Intel MKL!

Наконец, я должен отметить, что Mathematica каким-то образом пропустила этот след задолго до того, как я это сделал. Однако их решение состояло в том, чтобы объединить огромную стандартную библиотеку числовых и символических функций, написанных на языке C с условным императивным стилем, и обеспечить довольно рудиментарный функциональный язык программирования для вызова этих функций. Основным недостатком их подхода является то, что общий код, написанный в Mathematica (т. Е. Где время не проводится в основном в их стандартной библиотеке), примерно в 1000 раз медленнее, чем C.