Общая формула для вычисления трехмерных пространств равных расстояний

Question

это, вероятно, не подходящее место для публикации, но я не знаю, где еще разместить его.

У меня есть 5 строк (d1 -> d5), равномерно распределенных друг от друга в 3d-перспективе, у меня есть значения (a) угла, (d1) и (b5). Мне нужно вычислить (b2, b3, b4, d2, d3, d4, d5) с jquery.

я могу вычислить d5 с:

d5 = d1 - (b5 * Math.tan(a)) 

, но я понятия не имею, как рассчитать b2, b3 и b4. (d1 разделен на 4 идентичных segaments (s)) любая помощь будет оценена.

Answer 1

Что вы ищете - это проективный масштаб. Самый простой способ сделать это вычислительно - использовать однородные координаты, взять прямоугольник (как на первом рисунке ниже), на котором V «бесконечно далеко вправо» и найти проективное преобразование, которое отображает этот прямоугольник в трапецию в вторая картина. Вершинами прямоугольника являются (0 | 0), (0 | d1), (b5 | d1), (b5 | 0) и соответствующие вершины трапеции: (0 | 0), (0 | d1), (b5 | d5), (b5 | 0).

Поскольку эти четыре точки которых не три не коллинеарны, мы можем найти уникальную матрицу (до масштабирования) M для этой трансформации. После некоторой математики, оказывается, что эта матрица:

[d1*b5,0,0] 
[0,b5*d5,0] 
[d1-d5,0,b5*d5] 

Если вы хотите, чтобы найти координаты b3 и d3, например, вы можете умножить эту матрицу с однородными координатами точки в середине строки , т. е. вектор (0,5 * b5, d1,1)^T и вы получите однородные координаты точки (b3 | d3), которые можно преобразовать в евклидовы координаты путем дегомогенизации, т. е. делить первые две компоненты на третью.

В общем случае, если у вас есть две точки (b1 | d1) и (bn | dn) и вы хотите знать координаты n-2 равноотстоящих точек между ними в таком проективном масштабе, вы можете вычислить координаты bi и ди, как, как это (в вашем случае, п будет 5, конечно):

let M := matrix [[d1*bn, 0, 0], [0, bn*dn, 0], [d1-dn, 0, bn*dn]] 
let v := ((i-1)/(n-1)*bn, d1, 1) 
let (x,y,z) := M*v 
let bi := x/z and di := y/z 

Как вы видите, это простой алгоритм для вычисления координат этих проективно равноудаленных точек, и это обобщающее красиво произвольных количество точек.

Если вы хотели бы иметь замкнутую формулу, можно вычислить би и ди непосредственно как:

let bi := (bn*d1*(i-1))/(dn*n+(d1-dn)*i-d1) 
let di := d1*dn*(n-1)/(dn*n+(d1-dn)*i-d1) 

Answer 2

Сначала мы должны вычислить, что длина смежной стороны всего треугольника d1 ->против ->с есть (левая вертикальная сторона этого):

tan(Θ) = opposite/adjacent 
opposite * tan(Θ) = adjacent 
adjacent = opposite * tan(Θ) 
adjacent = d1 * tan(a) 

Следующая вещь, которую мы должны это знать, сколько от земли каждая линия от против, когда он попадает в линию d1. Принимая во внимание, что переменная с является одинаковым для всех подразделений и предполагая N деления сегментов (в данном случае 3), наш счетчик я, который начинается с 1 и переходит к N:

opposite(i) = i * (d1/N) 

Теперь нам нужно угол, что линия от об для каждого маркера ов составляет:

tan(Θi) = opposite/adjacent 
Θi = arctan(opposite/adjacent) 
Θi = arctan(opposite(i)/adjacent) 
Θi = arctan((i * (d1/N))/(d1 * tan(a))) 

Используя некоторую геометрию/тригг, можно сказать, что угол от d1 до точки c наверх d5 есть (90 ° - a).Мы будем называть этот угол а «

a' = 90° - a 

Закон синусов говорит нам, что:

A'/sin(a') = opposite(i)/sin(b') 

так что теперь мы решаем для А», так как нам нужна помощь в получении размеров оранжевый квадрат :

A' = (opposite(i) * sin (a'))/sin(b') 

так Ь» = ( + thetas; i) это превращается в:

A' = (opposite(i) * sin (90° - a))/sin(a + Θi) 

То же самое применяется, но решение для ч в оранжевый треугольник (см рисунок):

h/sin(90°-Θi) = A'/sin(90°) 
h = (A' * sin(90°-Θi))/sin(90°)  
b2 = h 

Собираем все вместе (надеюсь, без копирования/вставки ошибки с моей стороны) и без упрощений:

b2 = ((((i * (d1/N)) * sin (90° - a))/sin(a + Θi)) * sin(90° - arctan((i * (d1/N))/(d1 * tan(a)))))/sin(90°)  

Теперь промыть/повторить для каждого значения i и превратиться в код (я бы это сделал, но я слишком устал) :)