Это немного сложный вопрос; Вы можете загружать файлы с помощью WinHttp или WinInet (забыть, что работает лучше для него), но вы можете столкнуться с проблемами с настройками прокси.
Если бы я был вами, я бы написал плагин с использованием FireBreath, который затем работал бы над всеми основными браузерами, а не только с IE (работает как элемент управления ActiveX, так и как плагин NPAPI). Существует библиотека для FireBreath, которая хотя и плохо документирована, позволяет загружать файлы через HTTP с помощью libcurl и openssl, или вы можете выяснить, как это сделать с помощью WinInet/WinHTTP (некоторые поисковые запросы Google вызывают несколько возможных потенциальных клиентов).