Я хотел бы создать случайные точки, расположенные на поверхности n-мерного тора. Я нашел формулы для того, как генерировать точки на поверхности 3-dimensional torus:Создание случайных точек на поверхности n-мерного тора
x = (c + a * cos(v)) * cos(u)
y = (c + a * cos(v)) * sin(u)
z = a * sin(v)
U, V ∈ [0, 2 * PI); c, a> 0.
Теперь мой вопрос: как расширить эти формулы до n измерений. Любая помощь по этому вопросу была бы высоко оценена.
Я думаю, что вы можете сделать это рекурсивно. Начните с полного ортонормированного базиса вашего векторного пространства, и пусть текущее местоположение будет происходить. На каждом шаге выберите точку в плоскости, натянутой на первые два вектора координат, т. Е. Возьмем w1 = cos (t) * v1 + sin (t) * v2. Сдвиг других базисных векторов, т. Е. W2 = v3, w3 = v4, .... Также сделайте шаг от вашего текущего положения в направлении w1, с радиусом r1, выбранным спереди. Когда у вас остался только один базисный вектор, то текущая точка является точкой на n-мерном торе самого внешнего рекурсивного вызова.
Обратите внимание, что в то время как вышеупомянутое может использоваться для случайного выбора точек, оно не будет выбирать их равномерно. Вероятно, это будет гораздо сложнее, и вы обязательно должны спросить о математике этого вопроса на Math SE или, возможно, на Cross Validated (Statistics SE), чтобы получить математику, прежде чем беспокоиться о ее реализации.
n-tor (n - размерность поверхности тора, поэтому бублик или пончик является 2-тором, а не 3-тором) является гладким отображением n-прямоугольника. Один из способов приблизиться к этому - создать точки на прямоугольнике, а затем отобразить их на тор. Помимо проблемы выяснения того, как сопоставить прямоугольник на торе (я не знаю его в стороне), возникает проблема, что результирующее распределение точек на торе неравномерно, даже если распределение точек равно равномерный на прямоугольнике. Но должен быть способ настроить распределение на прямоугольнике, чтобы сделать его однородным на торе.