Различные собственные векторы из Wolfram, Octave, Джама

Question

У меня есть следующая матрица команды

M = 
     1 -3 3 
     3 -5 3 
     6 -6 4 

WolframAlpha eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}} производит следующие собственные:

lambda_1 = 4 
lambda_2 = -2 
lambda_3 = -2 

И следующие собственные векторы:

v_1 = (1, 1, 2) 
v_2 = (-1, 0, 1) 
v_3 = (1, 1, 0) 

---

Однако команда Октав [V,D]= eig(M) дает мне следующие собственные значения и собственные векторы:

V = 
     -0.40825 + 0.00000i 0.24400 - 0.40702i 0.24400 + 0.40702i 
     -0.40825 + 0.00000i -0.41622 - 0.40702i -0.41622 + 0.40702i 
     -0.81650 + 0.00000i -0.66022 + 0.00000i -0.66022 - 0.00000i 

    D = 
    Diagonal Matrix 
     4.0000 + 0.0000i     0     0 
         0 -2.0000 + 0.0000i     0 
         0     0 -2.0000 - 0.0000i 

---

И Яма дает мне следующее для собственных значений:

4 0 0 
    0 -2 0 
    0 0 -2 

And the following eigenvectors: 

     -0.408248 -0.856787 -0.072040 
     -0.408248 -0.650770 -1.484180 
     -0.816497 0.206017 -1.412140 

октавы и Jama результатов кажутся различными друг от друга и из результатов Вольфрама - Октава даже создает сложные собственные векторы, а собственные значения согласуются во всех трех методах.

Любое объяснение несоответствий и как интерпретировать результаты Octave и Jame в соответствии с результатом Wolfram?

Обратите внимание, что расчет руки, приведенный в http://algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml, согласуется с результатом Вольфрама.

Большое спасибо за помощь.

Answer 1

Все 3 ответа верны.

Собственный вектор, соответствующий 4, может быть любым числом от (1, 1, 2). Другими словами, если первые два значения совпадают, а третье число в два раза больше, это собственный вектор.

Оба

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i) 

и

(-0.408248, -0.408248, -0.816497) 

имеют эту форму.

Собственное значение -2 повторяется. Поэтому собственное пространство, соответствующее собственному значению -2, является двумерным. Это означает, что гораздо труднее увидеть, что ответы эквивалентны.

Самый простой способ описать 2D пространство, порожденное двумя собственными векторами (1, 1, 0) и (1, 0, -1) есть множество всех векторов (a, b, c) удовлетворяющих

a - b + c = 0 

Легко проверить, что все 6 собственных векторов Найдено -2 имеют это форма.

Это немного жалко, что Октав дал ответы как сложные числа, когда существует реальное решение, но на самом деле это не так.