Как разделить область под кривой на равные отрезки

Question

Я пытаюсь разделить площадь под кривой, приведенной в табличной форме , на равные сегменты области. Я должен решить следующий интеграл и найти множество точек x_0,x_1,...,x_k,x_N, для которых имеет место следующее

К сожалению, я не очень понимаю, как это сделать для табличной функции. Для аналитической линейной или квадратичной функции это приводит к решению квадратичного или кубического уравнения для x_k. Я попытался перебрать значение x_k, пока интеграл не станет меньше k/N. Я начинаю с первого фиксированного значения x_0 и пытаюсь найти x_1, для которого интеграл равен k/N, а затем используйте x_1 в качестве нового нижнего предела и ищите x_2 с тем же свойством.
Я предполагаю, что существует гораздо более эффективный способ сделать это, поэтому я решил попросить экспертов здесь. Буду признателен за ваши идеи.

Answer 1

Нет никакой надежды получить точные правильные ответы, не зная значительно больше о функции f (x). Однако мы могли бы использовать разумное приближение к f (x) и использовать его, поэтому наши ответы также были бы разумными приближениями.

Одно общее приближение, используемое при интеграции, - это правило трапеции, где мы предполагаем, что функция является линейной между последовательными значениями x_i, поэтому площадь между этими значениями является трапецией и легко вычисляется. Итак, сделаем то же приближение для f (x). Предположим, что указанные точки (x [i], f (x [i])), и мы ищем x-координаты z [i].

алгоритм будет затем (в псевдокоде):

Sort the values (x[i], f(x[i])) by the first coordinate 
if any of the neighboring x[i] are equal but the corresponding f(x[i]) are not: 
    raise an error 
Sum the trapezoidal areas to get the total area 
Find the desired area between x-coordinates 
Run through the x[i] and sum individual trapezoid areas 
    When the summed area are greater than the desired area, 
     Use interpolation to find z[i] between the x[i] that give the desired area 

Этого должно быть достаточно ясно. Интерполяция будет квадратичной интерполяцией, которая должна быть достаточно простой.

Answer 2

От ваших комментариев, f известен как неотрицательный. Кроме того, приведенные примеры имеют ограниченные непрерывные производные.

Допустим, вы первый пластинчатый вашу функцию на п точек (п будет определено позже), и г является совокупным приближение интеграла е по trapezoidal rule. Поскольку f неотрицателен, g монотонно неуклонно убывает. Следовательно, вы можете найти ближайший х точку ближе всего к значению г _макс/к с помощью binary search, со сложностью Θ (журнал (п)). Фактически, вы можете просто сделать это k раз.

Отметьте, что ваше требуемое приближение находится на g, не на x. Изготовление n достаточно велико, однако, хорошее приближение на x является хорошим для g. Чтобы определить n, вы можете использовать known bounds on the error of the trapezoidal formula.