Докажите, что s => ~ p задано (r => s) и (p | q) => (r | s)

Question

Я пытаюсь доказать ~ s => ~ p (не означает s не означает p) учитывая следующие 2 помещения.

r=>s   [r implies s] 

    (p|q)=>(r|s) [(p or q) implies (r or s)] 

Я попробовал несколько способов, пытаясь использовать или устранение или Отрицание введение, но я не могу даже представить себе, какие предположения мне нужно будет использовать. Буду признателен за любую помощь, которая может быть оказана.

Answer 1

Возможно, вам не хватает того, что вы можете комбинировать эти два значения перед чем-либо еще, чтобы исключить термин r. Я не думаю, что вам нужно введение отрицания, достаточно противопоставить высказывание.

Answer 2

(p|q)=>(r|s) 
(p|q)=>(s|s) //r=>s 
(p|q)=>s //simplify 
~s=>~(p|q) //by contraposition 
~s=>~p and ~s=>~q 
~s=>~p 

Answer 3

Я докажу это contradiction.

~ S => ~ P логически эквивалентен P => S.

P => S логически эквивалентен ~ PvS.

Пусть v означает «или» и & означает «и».

Предположим, что ~ PvS является ложным.

Следовательно, ~ (~ PvS) является истинным. (Это просто означает, что отрицание этого будет верно.)

~ (~ ПВС) = P & ~ S (закон Де Моргана) ----------- (1)

Итак, если наше предположение верно, то все три утверждения, которые у нас есть: P & ~ S, R => S, и (PvQ) => (RvS) должны быть истинными.

(PvQ) => (RvS) логически эквивалентно ~ (PvQ) v (RvS). Что эквивалентно (~ P & ~ Q) v (RvS). --------------- (2)

Другое помещение R => S эквивалентно ~ RvS. ---------- (3)

Если (1) истинно из предположения, то оба P и ~ S должны быть истинными. Это связано с природой логического соединителя &. ~ S истинно, поэтому S должно быть ложным. Теперь подставим P = True и S = ​​False в (2).

С левой стороны: если P истинно, то ~ P должно быть ложным. Из-за природы соединителя & (~ P & ~ Q) должно быть ложным независимо от того, что такое ~ Q.

Итак, правая сторона: (RvS) должна быть истинна, если нам нужно (2) быть истинным. Так как S ложно, то R должно быть истинным.

Теперь мы пришли к выводу, что: S является ложным, R истинно, P истинно.

Теперь мы можем заменить эти значения истинности на (3). Так как S ложно. Тогда ~ R должно быть истинным. Следовательно, ~ (~ R) является ложным. Таким образом, R является ложным.

Однако противоречие с тем, что R истинно. Итак, наше первоначальное предположение о том, что ~ S => ~ P ложно, было неправильным. Следовательно, ~ S => ~ P истинно.

В конце дня логические эквивалентности, упомянутые ранее, могут быть проверены с использованием таблицы истинности. Но хорошо запомнить их. Приветствия.