Почему комплексно сопряженное транспонирование по умолчанию в Matlab

Question

, если матрица имеет сложный элемент, и я хочу, чтобы транспонировать А в А»с помощью команды >>A' Почему это дизайн, который a+bi быть преобразован в a-bi? Для чего он используется?

Answer 1

От here:

для комплексных матриц, то это почти всегда бывает, что комбинированная операции взятия транспонирования и комплексное сопряжения возникает в физических или вычислительных контекстах и ​​практически никогда не транспонированная в изоляции (Strang 1988, стр. 220-221).

В matlab, если вы хотите транспонировать без сопряжения, используйте .'.

Answer 2

На самом деле я бы сказал, что есть серьезные причины, почему транспозиция является сопряженным. Рассмотрим матричное представление комплексных чисел. Пусть

I = (1 0)   J = (0 -1) 
    (0 1)    (1 0) 

и обратите внимание, что транспонированная J() просто равна -j. Тогда мы имеем эту эквивалентность (используя J для обозначения мнимой единицы):

x + yj <---> xI + yJ 
(x + yj)* <---> xI - yJ = (xI + yJ)^T 

Так конъюгации комплексного числа была та же операция, перенося его матричное представлением. Что произойдет, если у нас есть матрица комплексных чисел nxn? Почему же мы можем просто представить его как матрицу действительных чисел 2nx2n, где каждая подматрица 2х2 имеет вид xI + yJ! Оказывается, если вы сделаете так, чтобы эрмитова (сопряженная) транспонированная комплексная матрица nxn была просто эквивалентна обычной транспозиции в реальной форме 2nx2n. На самом деле я пойду дальше и утвержу (без доказательства), что любой вектор или матрица над комплексными числами имеет изоморфизм в векторах/матрицах над действиями (последний имеет двойную размерность) и что сопряженная транспозиция в комплексной версии идентична транспозиции в реальной версии.

Имея это в виду, я бы сказал, что «обычная транспозиция» матрицы над комплексными числами на самом деле очень странная вещь. Неудивительно, что мы не находим его в естественных законах!

Если вы хотите, естественное представление является 2nx2n реальной формой. Так получилось, что по историческим причинам мы сначала разработали алгебраическую форму с использованием символов j или i и изобрели идею сопряжения, которая на самом деле является лишь частным случаем транспонирования.

Следовательно, при транспонировании матрицы по комплексным числам Matlab успешно завершает работу путем сопряжения элементов для вас.

Если вы хотите узнать больше, стоит прочитать о теории представлений. Википедия - хорошее начало, хотя я считаю, что их статья немного техническая: https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory