Нахождение разницы Котировка функции с использованием Python

Question

Я читаю науку о данных из Scratch от Joel Grus, и я застрял в понимании того, как простая функция разностных факторов работает с использованием python.
Вот код:

f является функцией одной переменной функции, зависящий от x как h приближается 0.

def difference_quotient(f, x, h): 
    return (f(x + h) - f(x))/h 

Я понимаю, что это и есть уравнение для нахождения предела, и в этом случае производная, но я не вижу, как работает скрипт. Какие аргументы вы бы ввели в функцию, которая позволила бы получить оператор возврата f(something), а не f*(something). До сих пор я продолжаю получать ошибки, такие как объект «float»/«dict» не может быть вызван.

Answer 1

«Кто-то» ответил на ваш вопрос, но вы (и будущие читатели) могут найти эту дополнительную информацию полезной.

Для получения точной аппроксимации производной вам необходимо сделать h довольно маленьким. Однако, если вы сделаете его слишком маленьким, вы фактически потеряете точность из-за ограниченной точности поплавков Python. Вы можете получить больше точности, используя модуль decimal. Однако этот модуль поддерживает только простые арифметические операторы и функцию квадратного корня. Если вам нужны более удобные функции, такие как тригонометрические или экспоненциальные функции, вы можете использовать сторонний пакет произвольной точности математического пакета, такой как отличный mpmath, хотя, если вы используете mpmath, то вы, вероятно, используете его numerical derivative functions.

FWIW, вы можете сделать приближение производной более точным (для заданного h), сделав x серединой интервала. Вот краткий демо:

def dfa(f, x, h): 
    return (f(x + h) - f(x))/h 

def dfb(f, x, h): 
    hh = 0.5 * h 
    return (f(x + hh) - f(x - hh))/h 

# The function 
def func(x): return x**3 + x*x + x + 1 

# Its exact derivative 
def dfunc(x): return 3*x*x + 2*x + 1 

h = 0.001 
for i in range(10): 
    x = 1 + 0.1 * i 
    print(x, dfunc(x), dfb(func, x, h), dfa(func, x, h)) 

выход

1.0 6.0 6.00000024999936 6.004000999999093 
1.1 6.830000000000001 6.830000249999024 6.8343009999995985 
1.2 7.719999999999999 7.72000024999997 7.724600999999609 
1.3 8.67 8.670000249998644 8.674900999999124 
1.4 9.68 9.680000249999487 9.685200999998145 
1.5 10.75 10.750000249998948 10.755500999998446 
1.6 11.880000000000003 11.880000249998801 11.885800999996476 
1.7000000000000002 13.070000000000002 13.07000024999816 13.07610099999934 
1.8 14.32 14.320000249997022 14.326400999998157 
1.9 15.629999999999999 15.630000249997167 15.636700999996478 

Вот результаты для экспоненциальной функции.

from math import exp 

def dfa(f, x, h): 
    return (f(x + h) - f(x))/h 

def dfb(f, x, h): 
    hh = 0.5 * h 
    return (f(x + hh) - f(x - hh))/h 

func = dfunc = exp 

h = 0.001 
for i in range(10): 
    x = 1 + 0.1 * i 
    print(x, dfunc(x), dfb(func, x, h), dfa(func, x, h)) 

выход

1.0 2.718281828459045 2.718281941720413 2.7196414225332255 
1.1 3.0041660239464334 3.0041661491195804 3.005668607777512 
1.2 3.3201169227365472 3.320117061074157 3.3217775346887635 
1.3 3.6692966676192444 3.669296820505874 3.6711319276547805 
1.4 4.0551999668446745 4.0552001358102885 4.057228242863253 
1.5 4.4816890703380645 4.481689257074706 4.483930662008362 
1.6 4.953032424395115 4.953032630771403 4.955509766318755 
1.7000000000000002 5.473947391727201 5.473947619807795 5.476685277975513 
1.8 6.0496474644129465 6.049647716480422 6.0526732966712515 
1.9 6.6858944422792685 6.685894720857455 6.689238504094419 

Обратите внимание, что dfb не является надежным: если вы пытаетесь найти производную в x значение, которое находится рядом с полюсом или разрыва, то смещение интервала включить полюс или разрывы могут дать ошибочные результаты. Конечно, вы можете получить ту же проблему с dfa, например, если f(x) = 1/x и x - отрицательное число, но x+h положительно.

Answer 2

f является функцией, которую вы пытаетесь найти производным/разным фактором в точке x.

Попробуйте этот код: (Python 3)

def difference_quotient(f, x, h): 
    return (f(x + h) - f(x))/h 

def func(x): 
    # this is f of x, the function you are taking the derivative of 
    return x * x 

print(difference_quotient(func, 2, 0.001))