Как градиент вектора (дельта V) становится матрицей 3x3? И как вы эффективно вычисляете его собственное значение? Есть ли какая-нибудь библиотека C++, которая может это сделать (может ли это сделать библиотека C++ Eigen)?Собственное значение градиента векторнозначной функции
gradient является обобщением производной для функций с более чем одной переменной. Он состоит из всех частных производных функции, поэтому для каждой переменной она имеет одну производную.
Для скалярных значений N-переменной функции scalar y = f(x1, ..., xN), градиент является вектором с N элементами скалярных.
Обобщая его дальше к вектор- функцию vector y = f(x1, ..., xN), (где вектор имеет N элементов, а функция имеет N переменных скалярные), градиент можно рассматривать как вектор с N векторных элементов, которые на самом деле является матрицей с элементами NxN, также называемой Jacobian.
В вашем случае функция должна быть как vector3 y = f(x1, x2, x3), поэтому градиент представляет собой матрицу 3х3.
Вы можете вычислить его собственные значения, как для любой другой матрицы, например. используя Eigen decomposition. Как следует из названия, библиотека линейных алгебр Eigen предлагает такую функциональность.
Возможно, стоит отметить, что в общем случае матрица, образованная из производных произвольного векторного поля, не будет симметричной. Это означает, что Eigen-разложение этой матрицы может содержать комплексные числа. Если, с другой стороны, вектор сам по себе является производной от скалярной функции, то матрица вторых производных была бы симметричной и наполовину вещественнозначными собственными значениями. – rwp
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient#Gradient_of_a_vector. И да собственный может вычислить собственные значения матрицы ... так что используйте ее или такую же lib, как armadillo – coincoin
Да, я прочитал эту статью. Градиент - это вектор с одной строкой, как он становится 3x3? Если я дам Eigen вектор, может ли он превратить его в матрицу 3x3? – user6682440
, потому что у вас разные производные на 3 измерения. И вам не нужно делать свою матрицу самостоятельно. – coincoin