разница между n_times и цепи

Question

я наткнулся на двух следующих определений функций:

function n_times(f, n) { 
    if (n === 1) {return f;} 
    else { 
     return function(x) { 
      return f((n_times(f, n - 1)) (x)); 
     } 
    } 
} 

function chain(f, n) { 
    if(n === 1) { 
     return f; 
    } else { 
     return (chain(f, n - 1)) (f); 
    } 
} 

Я не могу показаться, чтобы выяснить разницу между ними. Применение модели подстановки предлагает следующее:

для цепи: chain(f, 3) (x) = f(f(f(x))))

для n_times: n_times(f, 3) (x) = f((f(f(x))) (x))

Таким образом, существует более одной переменной в случае n_times.

Любая помощь была бы принята с благодарностью.

Большое спасибо в продвинутом виде.

Answer 1

Вы, должно быть, ошибались где-то в своей замене. С определениями функций вы дали (которые не являются на самом деле стандарт кстати), это

n_times(f, 3) (x) 
≡ function(x) { return f(n_times(f, 2)(x)) } (x) 
≡ f(n_times(f, 2)(x)) 
≡ f(function(x) { return f(n_times(f, 1)(x)) } (x)) 
≡ f(f(n_times(f, 1)(x))) 
≡ f(f(f(x))) 

и

chain(f, 3) (x) 
≡ chain(f, 2) (f) (x) 
≡ chain(f, 1) (f) (f) (x) 
≡ f (f) (f) (x)