вам необходимо использовать oAuth.
использовать, например, этот класс - https://github.com/abraham/twitteroauth также необходимо создать приложение, чтобы получить необходимые ключи ($ CONSUMER_KEY, $ consumer_secret, $ oauth_token, $ oauth_token_secret). и получить, например, твиты с временной шкалы, просто выполните этот код
require_once(dirname(__FILE__) . '/libs/twitteroauth.php');
$connection = new TwitterOAuth($consumer_key, $consumer_secret, $oauth_token, $oauth_token_secret);
$response = $connection->get('statuses/user_timeline', array('screen_name' => $twitter_name));
echo '<pre>'.print_r($response,1).'</pre>';