Как найти квадратичную квадратичную верхнюю границу квадрата с квадратичной ошибкой?

Question

У меня есть некоторые данные формы

x1[i], x2[i], x3[i], z[i],

где z[i] неизвестная детерминированная функция x1[i], x2[i], and x3[i]. Я хотел бы найти квадратичную функцию u(x1, x2, x3)= a11*x1^2 + a22*x2^2 + a33*x3^2 + a12*x1*x2 + ... + a0, которая перечеркивает данные, то есть u(x1[i], x2[i], x3[i]) >= z[i] для всех i, и это минимизирует сумму квадратов ошибок, связанных с ограничениями.

Есть ли подход с эффективным вычислением в Python или Matlab?

Answer 1

Существует очень простое решение. Просто используйте полиномиальную регрессию в Mathlab (http://www.matrixlab-examples.com/polynomial-regression.html). Вы получите определенную функцию P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]). 1. Затем для каждого i вычислим выражение Diff [i] = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) - z [i]. Вы получите некоторый массив Diff. 2. Выберите все отрицательные значения. 3. Найдите минимальное значение в Diff: M = Min (Diff). 4. Желаемая функция F (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) + Abs (M), где Abs (M) - это значение, исключая знак M.

Но если вы не ограничены только квадратичными функциями, вы можете изменить степень полинома и в конечном итоге получить более точное решение.

Answer 2

Ваша проблема звучит как quadratic programming problem с линейными ограничениями. Существуют эффективные алгоритмы для их решения, и они реализованы также в Matlab и Python; см. quadprog и CVXOPT соответственно.