Генерация случайной матрицы с определенной ранге и мощностями

Question

Я хотел бы, чтобы сформировать прямоугольную матрицу A с записями в замкнутом интервале [0,1], который обладает следующими свойствами:

(1) size(A) = (200,2000) 
(2) rank(A) = 50 
(3) nnz(A) = 100000 

Это будет лучше, если не- нулевые элементы в A будут распадаться экспоненциально или, по крайней мере, полиномиально (я хочу значительно более мелкие значения, чем большие). Очевидно (я думаю ...), нормализующийся до [0,1], в конце концов, не является главной проблемой здесь.

Вещи я пытался это не сработало:

1. Первый генерации случайной матрицы с A=abs(randn(200,2000)) и пороговым

   th = prctile(A(:),(1-(100000/(200*2000)))*100); 
   A = A.*(A>th); 
   

   Теперь, когда свойство (3) удовлетворен, я снизил ранг

   [U,S,V] = svd(A); 
   for i=51:200 S(i,i)=0; end 
   A = U*S/V; 
   

   Но эта матрица имеет почти полный кардинал (я потерял должное (3)).

2. Сначала генерируется матрица с указанным рангом с A=rand(200,50)*rand(50,2000). Теперь, когда условие (2) удовлетворено, я раньше, как раньше. Только теперь я потерял свойство (2), так как матрица имеет почти полный ранг.

Итак ... Есть ли способ, чтобы убедиться, что оба свойства (2) и (3) выполняются одновременно?

P.S. Я хотел бы, чтобы ненулевые записи в матрице были распределены каким-то случайным/неструктурным образом (просто создание 50 ненулевых столбцов или строк не является моей целью ...).

Answer 1

Это удовлетворяет все условия, с очень высокой степенью вероятности:

A = zeros(200,2000); 
A(:,1:500) = repmat(rand(200,50),1,10); 

Затем можно затем Суффль ненулевых столбцов при желании:

A = A(:,randperm(size(A,2))); 

Матрицы имеет вертикальную структуру: в 500 colums все элементы отличны от нуля, тогда как в остальных 1500 столбцах все элементы равны нулю. (Не уверен, что это приемлемо для вашей цели).

Answer 2

Trivial подход:

>> A= rand(200,50); 
>> B= zeros(200,1950); 
>> A = [A B]; 
>> A = A(:,randperm(size(A,2))); 
>> rank(A) 

ans = 

    50 

>> nnz(A) 

ans = 

     10000