Дискретизированное непрерывное преобразование Фурье с numpy

Question

Рассмотрим функцию f (t), как я могу вычислить непрерывную диаграмму Фурье (w) и построить ее (используя numpy и matplotlib)?

Это или обратная задача (г (ж) дается, участок F (T) неизвестна) имеет место, если не существует аналитического решения интеграла Фурье.

Answer 1

Для этого вы можете использовать numpy FFT module, но вам нужно сделать дополнительную работу. Сначала рассмотрим интеграл Фурье и дискретизируем его: Здесь k, m - целые числа, а N - число точек данных для f (t). С помощью этого дискретизации мы получаем

суммы в последнем выражении в точности преобразования дискретного преобразования Фурье (ДПФ) Numpy применение (смотрите раздел «деталь осуществления» numpy FFT module). С этим знанием мы можем написать следующий сценарий питона

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as pl 

#Consider function f(t)=1/(t^2+1) 
#We want to compute the Fourier transform g(w) 

#Discretize time t 
t0=-100. 
dt=0.001 
t=np.arange(t0,-t0,dt) 
#Define function 
f=1./(t**2+1.) 

#Compute Fourier transform by numpy's FFT function 
g=np.fft.fft(f) 
#frequency normalization factor is 2*np.pi/dt 
w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dt 


#In order to get a discretisation of the continuous Fourier transform 
#we need to multiply g by a phase factor 
g*=dt*np.exp(-complex(0,1)*w*t0)/(np.sqrt(2*np.pi)) 

#Plot Result 
pl.scatter(w,g,color="r") 
#For comparison we plot the analytical solution 
pl.plot(w,np.exp(-np.abs(w))*np.sqrt(np.pi/2),color="g") 

pl.gca().set_xlim(-10,10) 
pl.show() 
pl.close() 

Полученный график показывает, что скрипт работает