Вы хотите на самом деле нажать эту кнопку в браузере пользователя или просто выполнить то же действие, что и пользователь, щелкнув по нему (например, получить результаты поиска в вашей программе PHP)?
Вы определенно не можете сделать первый, так как вам нужно будет использовать javascript. И на самом деле даже javascript может быть невозможен из-за ограничений безопасности (вы не можете получить доступ к странице, загруженной из другого домена).
Что касается симуляции браузера в PHP - это очень возможно, так как это по сути направляет HTTP-запрос. Вы можете либо самостоятельно создать запрос, либо отправить его с PHP на сервер, используя один из расширений PHP PHP, curl или fopen wrappper. Или вы можете использовать одну из нескольких доступных библиотек PHP, таких как Guzzle (http://guzzle.readthedocs.org/en/latest/) или Symfony BrowserKit (http://symfony.com/components/BrowserKit).
Узнайте, что вы совершенствуете. – Joshua