с использованием сценария Python w 2-й порядок Runge Kutta для решения уравнения маятника, как добавить расчет KE, PE и TE?

Question

Я не могу понять, как программировать мой скрипт для построения KE, PE и TE. Я включил несколько ########### в части моего кода, где я чувствую, что проблема кроется.

def pendulum_runge_kutta(theta0,omega0,g,tfinal,dt): 
    # initialize arrays 
    t = np.arange(0.,tfinal+dt,dt)    # time array t 
    npoints = len(t) 
    theta = np.zeros(npoints)     # position array theta 
    omega = np.zeros(npoints)     # position array omega 
    Ke = np.zeros(npoints) 
    Pe = np.zeros(npoints) 
    L=4 
    g = 9.81 
    t2=np.linspace(0,tfinal,1000) 
    theta0=0.01 
    omega0=0 

    # exact solution for 
    thetaExact = theta0*np.cos((g/L)**(1/2)*t2) 

    # SECOND ORDER RUNGE_KUTTA SOLUTION 
    theta[0] = theta0 
    omega[0] = omega0 
    #Ke[0] = ####################################### 
    #Pe[0] =###################################### 
    m=1.0 
    for i in range(npoints-1): 
     # compute midpoint position (not used!) and velocity   
     thetamid = theta[i] + omega[i]*dt 
     omegamid = omega[i] - (g/L)*np.sin(theta[i])*dt/2 

     # use midpoint velocity to advance position    
     theta[i+1] = theta[i] + omegamid*dt 
     omega[i+1] = omega[i] -(g/L)*np.sin(thetamid)*dt/2 

     ###########calculate Ke, Pe, Te############ 
     Ke[i+1] = 0.5*m*(omega[i+1]*L)**2 
     Pe[i+1] = m*g*L*np.sin(theta[i+1]) 
    Te = Ke+Pe 

    #plot result of Ke, Pe, Te 
    pl.figure(1) 
    pl.plot(t,Ke,'c-',label='kinetic energy') 
    pl.plot(t,Pe,'m-',label='potential energy') 
    pl.plot(t,Te,'g-',label='total energy') 
    pl.title('Ke, Pe, and Te') 
    pl.legend(loc='lower right') 
    pl.show() 

    #now plot the results 
    pl.figure(2) 
    pl.plot(t,theta,'ro',label='2oRK') 
    pl.plot(t2,thetaExact,'r',label='Exact') 
    pl.grid('on') 
    pl.legend() 
    pl.xlabel('Time (s)') 
    pl.ylabel('Theta') 
    pl.title('Theta vs Time') 
    pl.show() 

#call function  
pendulum_runge_kutta(0.01, 0, 9.8, 12, .1) 

Answer 1

Формулы для метода средней точки применяются равномерно ко всем компонентам системы первого порядка. Таким образом, это должно быть dt/2 как для средних значений, так и для полного dt для полного рабочего шага.

Потенциальная энергия должна содержать интеграл от sin(x), C-cos(x). Например,

Pe[i+1] = m*g*L*(1-np.cos(theta[i+1])) 

формула для энергий в момент времени i+1 также применяется в момент времени 0. Вам нужно переместить объявление массы, например, после длины линии L=4.

И последнее замечание, указанное точное решение для малой угловой аппроксимации, нет конечно выражаемого точного решения для общего физического маятника. Для данной амплитуды theta0=0.01 малое угловое приближение должно быть достаточно хорошим, но помните об этом для больших колебаний.