R в 3NF тогда и только тогда, когда R в BCNF?

Question

Рассмотрим отношение R и набор функциональных зависимостей F, включая только одну функциональную зависимость: {X->A}. доказать, что если R в 3NF iff R в BCNF.

До сих пор для < - направление по определению тривиально. Но я борюсь с направлением ->. Что мы знаем о F-closure? из определения, мне нужно проверить для каждой функциональной зависимости Y->B, что в F-closure, что его тривиальный или Y является суперключем. Есть ли какие-то выводы о суперклассе R, который я пропустил?

Answer 1

Вот эскиз доказательства.

Тот факт, что схема отношений в BCNF подразумевает, что схема также находится в 3NF, обусловлена ​​определением 3NF (каждый детерминант является суперключем или подразумевает только основные атрибуты, и мы знаем, что каждый детерминант является суперключом, поскольку схема находится в BCNF).

Таким образом, мы должны показать, что если отношение находится в 3NF, то оно также находится в BCNF.

Теперь рассмотрим единственную зависимость, {X->A}. Для определения 3NF либо X является суперключем, либо A является простым.

В первом случае, если X является суперклеером, мы знаем, что схема также находится в BCNF.

Итак, нам нужно проверить только случай, в котором X не является (супер) ключом, а A является простым. Мы можем доказать, что этот случай невозможно, со следующими шагами.

У нас есть только две возможности: X содержит A, или нет.

1. Если X содержит A, то эта зависимость тривиальна, и, так как не существует никаких других зависимостей, X является ключевым, и это нарушает нашу гипотезу о том, чтобы мы пришли к противоречию.

2. Если, с другой стороны, X не содержится в A, то X снова ключ, и это опять-таки противоречит условию.

Наконец, следует отметить, что в этом доказательстве я предположил, что нет никаких других атрибутов в R часть из XU{A}, в противном случае эти другие атрибуты должны присутствовать в любом ключе отношения, и там должно быть по крайней мере, другая зависимость с ними.