Что такое собственные значения и разложения?

Question

Что такое собственные значения, векторы и расширения и как конструктор алгоритмов, как я могу их использовать?

EDIT: Я хочу знать, как вы использовали его в своей программе, чтобы я получил представление. Благодарю.

Answer 1

они используются гораздо больше, чем матричная алгебра. примеры включают в себя следующее:

• Распределение асимптотического состояния скрытой марковской модели задается левым собственным вектором, связанным с собственным значением единицы из матрицы перехода состояния.
• Один из лучших & Наиболее быстрыми методами поиска структуры сообщества в сети является построение так называемой матрицы модульности (в основном это то, что «удивительно» является связью между двумя узлами), а затем знаки элементов собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением, расскажет вам, как разбить сеть на два сообщества
• В основном анализе компонентов вы по существу выбираете собственные векторы, связанные с k наибольшими собственными значениями из n> = k мерной ковариационной матрицы ваших данных и проектируете ваши данные вплоть до k мерного подпространства.использование самых больших собственных значений гарантирует, что вы сохраните размеры, которые наиболее важны для данных, поскольку они являются самыми большими отклонениями.
• Многие методы распознавания изображений (например, распознавание лиц) основаны на построении собственного базиса из известных данных (большой набор лиц) и видении того, насколько сложно восстановить целевое изображение с использованием собственного базиса - если это легко, то целевое изображение, вероятно, должно быть от множества, которое описывает собственный базис (т.е. собственные поверхности легко восстанавливают грани, но не автомобили).
• Если вы участвуете в научных вычислениях, то собственными векторами квантового гамильтониана являются те состояния, которые являются стабильными, поскольку если система находится в собственном состоянии в момент времени t1, то в момент времени t2> t1, если она не имеет был нарушен, он все равно будет в этом собственном государстве. также собственным вектором, связанным с наименьшим собственным значением гамильтониана, является основное состояние системы.

Answer 2

выписка http://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html

Использование собственных значений в алгоритмах должны вы быть опытными с математикой вовлеченного. Я абсолютно не тот человек, который говорит о математике: я напугаю это.

cheers, jrh.

Answer 3

Собственные значения и векторы используются при вычислении матрицы как нахождение обратной матрицы. Поэтому, если вам нужно написать математический код, предварительно вычислить их можно ускорить некоторые операции.

Короче говоря, вам нужно их, если вы матричная алгебра, линейная алгебра и т.д.

Answer 4

Собственные векторы и соответствующие собственные значения в основном используются для переключения между различными системами координат. Это может значительно упростить задачи и вычисления, переместив сферу проблем из одной системы координат в другую.

Эта новая система координат имеет собственные векторы в качестве ее базовых векторов, то есть они «охватывают» эту систему координат. Так как они могут быть нормированы, матрица преобразования из первой системы координат является «ортонормированной», то есть собственные векторы имеют величину 1 и перпендикулярны друг другу.

В преобразованной системе координат линейная операция A (матрица) является чистой диагональю. См. Spectral Theorem и Eigendecomposition для получения дополнительной информации.

Быстрый Подразумевается, например, что вы можете от общей квадратичной кривой:

ах^2 + 2bxy + су^2 + 2dx + 2fy + д = 0

записать его в виде

AX^2 + BY^2 + C = 0

где X и Y подсчитываются вдоль направления собственных векторов.

Приветствия!

Answer 5

Используя обозначения благоприятствования физики, если мы имеем оператор H, то |x> является собственным H тогда и только тогда, когда

H|x> = h|x> 

, где мы называем h собственное значение, связанное с собственным вектором |x> под H.

(Здесь состояние системы может быть представлена ​​в виде матрицы, что делает эту математику изоморфны все другие выражения уже связаны между собой.)

Что приводит нас к использованию этих вещей, когда они были обнаружены:

Полный набор собственных векторов системы под заданным оператором образуют ортогональное остовное множество для их системы. Этот набор может быть основой, если нет вырождения. Это очень полезно, потому что оно допускает чрезвычайно компактные выражения произвольных (не собственных) состояний системы.